Основы метода конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) состоит в том, что заданная сис­тема разбивается для расчета на отдельные элементы конечных разме­ров, объединяемых в заданную систему. Конечные элементы должны быть такой формы, которая доступна для исследования их напряженно- деформированного состояния под нагрузкой и силами взаимодействия между соседними элементами и соответствующими им перемещениями.

Элементы объединяются в заданную систему на основе условий рав­новесия и равенства деформаций и перемещений в местах соединения этих элементов (узлах).

Условия сопряжения элементов в узлах осуществляются на основе дополнительных допущений на стадии изучения конечных элементов.

Таким образом, в методе конечных элементов непрерывная система ус­ловно заменяется системой с конечным числом определяемых перемещений (с конечным числом степеней свобо­ды), в которой внимание сосредоточе­но на анализе сил и перемещений уз­ловых точек системы (узлов), позволя­ющем вести расчет не только стерж­невых систем, но и пластин, оболочек, объемных (массивных) тел. Следова­тельно, расчет таких систем сводится к решению алгебраических уравнений вместо дифференциальных.

Конечными элементами могут быть стержни или их участки в стержневых системах, элементы пластин (рис. 1) в виде треугольных и прямоугольных полей для пластин и оболочек, в виде тетра­эдров и параллелепипедов для мас­сивных тел.

Рис. 1

Расчет может быть проведен по ме­тоду сил, когда за неизвестные принимаются силы взаимодействия между конечными элементами в местах их соединения, или по методу переме­щений, когда за неизвестные принимаются перемещения узлов соеди­няемых элементов. Может быть применен и смешанный метод.

В методе сил неизвестные силы должны обеспечить равенство пере­мещений конечных элементов в местах их соединения (узлах), а в ме­тоде перемещений неизвестные перемещения—равновесия узлов. Одна­ко нередко метод перемещений более удобен, чем остальные, и он в ос­новном рассматривается далее. В расчетах по методу конечных элемен­тов существенную роль играют матрицы податливости и матрицы жест­кости. Если расчет проводится по методу сил, то применяется матрица податливости, а если по методу перемещений, то матрица жесткости.

Метод конечных элементов приложим к любым системам, в том чис­ле и к стержневым, но все же его основное назначение — это расчет континуальных систем, пластин, оболочек и массивных тел и систем, составленных из них.

В стержневых системах, когда за неизвестные принимаются переме­щения их узлов, расчет производится на основной системе метода пере­мещений: в этом случае метод конечных элементов представляет собой метод перемещений в особой матричной форме, без построения в основ­ной системе исходных «единичных» эпюр, удобной для ЭВМ. Когда же в стержневых системах за неизвестные принимаются силы, расчет производится на основной системе метода сил, с особыми «узлами» системы в местах удаленных связей. В этом случае МКЭ при­обретает обычную матричную форму с определением внутренних усилий в основной системе.

Если предварительное изучение конечных элементов о связи между усилиями, деформациями и перемещениями в узлах проведено точно и затем точно составлены условия сопряжения элементов, то метод будет точным. В остальных случаях, что обычно и бывает, метод приближен­ный. При этом, чем полнее в расчете отражены условия сопряжения элементов между собой, тем обычно метод точнее. В сложных случаях точность метода, как правило, повышается с увеличением числа конеч­ных элементов, однако в этом случае растет число неизвестных, опреде­ление которых требует большего машинного времени для получения решений уравнений с приемлемой точностью.

Методом конечных элементов при наличии ЭВМ может быть рас­считана любая система, если выделяемые из нее конечные элементы до­ступны для предварительного изучения и если их число, достаточное для получения практически приемлемых результатов, не превысит при обработке возможности вычислительной машины.