Максвелловское распределение молекул по скоростям

В результате столкновений молекулы обмениваются скоростями, а в случае тройных и более сложных столкновений молекула может иметь временно очень большие и очень малые скорости. Хаотичное движение приводит к хаотичному распределению молекул по скоростям. Это распределение можно получить, обобщив закон Больцмана. Пусть в элементе объема DxDyDz находится число молекул DN = nDxDyDz , где n - число молекул в единице объема. Подставляя n из формулы (9.15), получим DN = n_oexp[-E_п /(kT)]DxDyDz . Как доказывается в статистической физике, распределение Больцмана можно обобщить, построив подобно обычному пространству дополнительное пространство скоростей молекул и рассмотрев его элемент Dv_x Dv_y Dv_z . Получим

DN = A exp[-E /(kT)]DxDyDzDv_xDv_yDv_z, (9.16)

где E = mv²/2 + mgh - полная энергия молекулы; A - постоянная величина; DN - число молекул, находящихся в объеме DxDyDz, скорости которых попадают в интервал Dv_xDv_yDv_z. Считая, что в малом объеме DxDyDz энергия mgh постоянна и вводя Dn = DN/(DxDyDz) , запишем (9.16) в виде

Dn = B exp[-mv² /(2kT)] Dv_xDv_yDv_z, (9.17)

где B - постоянная величина, Dn - число молекул в единице объема, скорости которых попадают в интервал скоростей Dv_x Dv_y Dv_z . Для нахождения интервала скоростей построим воображаемое пространство скоростей (v_x v_y v_z) и отложим там значения компонентов скоростей v_x , v_y , v_z отдельных молекул. Тогда каждой молекуле будет соответствовать точка в этом пространстве (рис.9.4). Расположение точек относительно начала координат вследствие равноправности всех направлений движения будет сферически симметричным. Выберем элемент объема скоростей лежащим между двумя сферическими поверхностями с радиусами v и (v+Dv), получим его равным 4pv²Dv. Тогда, подставляя 4pv²Dv вместо Dv_xDv_yDv_z, запишем (9.17) в виде

Dn = B exp[-m v² /(2kT)] 4p v² Dv. (9.18)

Максвелл ввел специальную функцию распределения молекул по скоростям f(v) = Dn/(nDv), которая показывает, какое относительное число молекул имеет скорости в интервале от v до v + Dv . Легко видеть, что å f(v)Dv_i » å Dn_i /n = 1. Переходя к пределу, получим

(9.19)

Данное выражение называют условием нормировки функции распределения. С учетом (9.18) функцию распределения можно записать в виде где С - постоянная величина. Введем величину

u² = mv²/(2kT), (9.20)

и запишем функцию распределения в виде

f(v) = C exp(-u²) u². (9.21)

Приравняв производную от выражения (9.21) по u нулю, получим экстремальные значения u , равные u = 0, u = 1, u = . Зависимость f(v) от v для различных температур T₁ и T₂ показана на рис. 9.5. Кривая имеет максимум, соответствующий величине u = 1. Скорость, соответствующая максимуму кривой, называется наиболее вероятнойи обозначается символом v_нв. По определению f(v) показывает, какая часть молекул имеет скорости в единичном интервале скоростей (Dv = 1). Если взять скорость молекулы в какой-либо момент времени, то наиболее вероятным значением скорости будет v_нв , так как функция f(v) для этого значения скорости имеет максимальное значение. Приравняв выражение (9.20) единице, получим mv_нв²/(2kT) = 1 или

. (9.22)

Отсюда видим, что с повышением температуры наиболее вероятная скорость возрастает. Кривая 2 на рис.9.5, соответствующая более высокой температуре, смещена вправо по сравнению с кривой 1. Это означает, что с повышением температуры скорости всех молекул возрастают, но характер распределения остается. Площадь, ограниченная каждой из кривых, в соответствии с условием (9.19) равна единице. Из анализа кривых на рис.9.5 видно, что относительное число молекул, скорости которых малы, невелико. Относительное число молекул, скорости которых намного больше v_нв, мало. Однако всегда существует небольшое число молекул с очень большими скоростями движения. Исходя из этого, легко понять сущность процесса испарения, при котором наиболее быстрые (“горячие”) молекулы покидают жидкость, и из-за этого в целом температура ее при испарении понижается.

Постоянную C в выражении (9.21) определяют, используя условие нормировки (9.19). Подставляя формулу (9.21) в выражение (9.19), получим C = 4/( v_нв) .

С помощью Максвелловского распределения молекул по скоростям можно рассчитать среднюю скорость молекул по формуле v_ср = . Подставляя сюда (9.21), получим v_ср = v_нв или с учетом (9.22)

v_ср = . (9.23)

Аналогично рассчитывается средняя квадратичная скорость:

v_кв² = = 3kT/m .

Видим, что наибольшее значение имеет средняя квадратичная скорость молекул. Примерно на 10% меньше, чем v_кв, средняя скорость и на 20% меньше, чем v_кв, наиболее вероятная скорость.