Максвелловское распределение молекул по скоростям

В результате столкновений молекулы обмениваются скоростями, а в случае тройных и более сложных столкновений молекула может иметь временно очень большие и очень малые скорости. Хаотичное движение приводит к хаотичному распределению молекул по скоростям. Это распределение можно получить, обобщив закон Больцмана. Пусть в элементе объема DxDyDz находится число молекул DN = nDxDyDz , где n - число молекул в единице объема. Подставляя n из формулы (9.15), получим DN = noexp[-Eп /(kT)]DxDyDz . Как доказывается в статистической физике, распределение Больцмана можно обобщить, построив подобно обычному пространству дополнительное пространство скоростей молекул и рассмотрев его элемент Dvx Dvy Dvz . Получим

DN = A exp[-E /(kT)]DxDyDzDvxDvyDvz, (9.16)

где E = mv2/2 + mgh - полная энергия молекулы; A - постоянная величина; DN - число молекул, находящихся в объеме DxDyDz, скорости которых попадают в интервал DvxDvyDvz. Считая, что в малом объеме DxDyDz энергия mgh постоянна и вводя Dn = DN/(DxDyDz) , запишем (9.16) в виде

Dn = B exp[-mv2 /(2kT)] DvxDvyDvz, (9.17)

где B - постоянная величина, Dn - число молекул в единице объема, скорости которых попадают в интервал скоростей Dvx Dvy Dvz . Для нахождения интервала скоростей построим воображаемое пространство скоростей (vx vy vz) и отложим там значения компонентов скоростей vx , vy , vz отдельных молекул. Тогда каждой молекуле будет соответствовать точка в этом пространстве (рис.9.4). Расположение точек относительно начала координат вследствие равноправности всех направлений движения будет сферически симметричным. Выберем элемент объема скоростей лежащим между двумя сферическими поверхностями с радиусами v и (v+Dv), получим его равным 4pv2Dv. Тогда, подставляя 4pv2Dv вместо DvxDvyDvz, запишем (9.17) в виде

Dn = B exp[-m v2 /(2kT)] 4p v2 Dv. (9.18)

Максвелл ввел специальную функцию распределения молекул по скоростям f(v) = Dn/(nDv), которая показывает, какое относительное число молекул имеет скорости в интервале от v до v + Dv . Легко видеть, что å f(v)Dvi » å Dni /n = 1. Переходя к пределу, получим

(9.19)

Данное выражение называют условием нормировки функции распределения. С учетом (9.18) функцию распределения можно записать в виде где С - постоянная величина. Введем величину

u2 = mv2/(2kT), (9.20)

и запишем функцию распределения в виде

f(v) = C exp(-u2) u2. (9.21)

Приравняв производную от выражения (9.21) по u нулю, получим экстремальные значения u , равные u = 0, u = 1, u = . Зависимость f(v) от v для различных температур T1 и T2 показана на рис. 9.5. Кривая имеет максимум, соответствующий величине u = 1. Скорость, соответствующая максимуму кривой, называется наиболее вероятнойи обозначается символом vнв. По определению f(v) показывает, какая часть молекул имеет скорости в единичном интервале скоростей (Dv = 1). Если взять скорость молекулы в какой-либо момент времени, то наиболее вероятным значением скорости будет vнв , так как функция f(v) для этого значения скорости имеет максимальное значение. Приравняв выражение (9.20) единице, получим mvнв2/(2kT) = 1 или

. (9.22)

Отсюда видим, что с повышением температуры наиболее вероятная скорость возрастает. Кривая 2 на рис.9.5, соответствующая более высокой температуре, смещена вправо по сравнению с кривой 1. Это означает, что с повышением температуры скорости всех молекул возрастают, но характер распределения остается. Площадь, ограниченная каждой из кривых, в соответствии с условием (9.19) равна единице. Из анализа кривых на рис.9.5 видно, что относительное число молекул, скорости которых малы, невелико. Относительное число молекул, скорости которых намного больше vнв, мало. Однако всегда существует небольшое число молекул с очень большими скоростями движения. Исходя из этого, легко понять сущность процесса испарения, при котором наиболее быстрые (“горячие”) молекулы покидают жидкость, и из-за этого в целом температура ее при испарении понижается.

Постоянную C в выражении (9.21) определяют, используя условие нормировки (9.19). Подставляя формулу (9.21) в выражение (9.19), получим C = 4/( vнв) .

С помощью Максвелловского распределения молекул по скоростям можно рассчитать среднюю скорость молекул по формуле vср = . Подставляя сюда (9.21), получим vср = vнв или с учетом (9.22)

vср = . (9.23)

Аналогично рассчитывается средняя квадратичная скорость:

vкв2 = = 3kT/m .

Видим, что наибольшее значение имеет средняя квадратичная скорость молекул. Примерно на 10% меньше, чем vкв, средняя скорость и на 20% меньше, чем vкв, наиболее вероятная скорость.






Дата добавления: 2016-11-04; просмотров: 1705; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.021 сек.