Устойчивость границы раздела двух жидкостей

В реальных условиях движение границы раздела жидкостей значительно сложнее принятой выше модели. Обычно продуктивные пласты наклонны и граница раздела жидкостей, имеющая горизонтальное начальное положение, в процессе разработки месторождения деформируется (рис.60); перемещаясь, занимает последовательно положения A₁B₁, A₂B₂ и т.д.

Рис. 60

Рассмотрим вопрос об устойчивости движения границы раздела. Если частица вытесняющей жидкости (вода), попавшая в область, занятую вытесняемой жидкостью (нефтью), замедляет свое движение, такое движение границы называется устойчивым, при ускорении последующего движения - процесс движения границы является неустойчивым. Условие устойчивости движения границы раздела можно установить следующим образом.

Запишем выражения скоростей фильтрации для каждой жидкости согласно закону Дарси с учетом силы тяжести

; . (9.35)

Запишем выражение скорости фильтрации воды, попавшей в поток нефти - с градиентом давления ; при этом - проницаемость пласта для воды в зоне движения нефти:

. (9.36)

В свою очередь скорость фильтрации основных частиц нефти, соприкасающихся с проникшими туда частицами воды, согласно второму уравнению из (9.35) будет

. (9.37)

Из выражений (9.36) и (9.37) можно найти связь между скоростями фильтрации и :

откуда

Об устойчивости же движения границы раздела можно судить по разности скоростей фильтрации

(9.38)

При - движение границы раздела жидкостей будет устойчивым;

при - движение неустойчиво.

Если угол наклона пласта к горизонту обозначить через , то очевидно, что , тогда условие устойчивости (9.38) можно записать в виде

. (9.39)

Обычно меньше . В первом приближении можно принять . Тогда соотношение (9.39) преобразуем к виду

. (9.40)

Так как при устойчивом движении границы раздела , то из (9.40) находим, что при устойчивом движении границы раздела скорость фильтрации нефти на границе раздела должна быть

. (9.41)

Движение всегда устойчиво при малых скоростях и когда и , т.к. <0, даже если велико. Поэтому, например, когда водонефтяной контакт далек от эксплуатационных скважин и скорость мала, граница раздела движется устойчиво. С приближением водонефтяного контакта и с увеличением согласно (9.39) увеличивается.