ТЕМА 7. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Содержание
1. Математические понятия. Объем и содержание понятия.
2. Отношения рода и вида между понятиями.
3. Определение понятий.
4. Требования к определению понятий.
5. Неявные определения
Основная литература [7, 14, 16, 24, 25, 30, 33, 34];
Дополнительная литература [26, 44]
1. Математические понятия. Объем и содержание понятия
Изучая математику в школе, колледже, вузе, необходимо усвоить определенную систему понятий, предложений и доказательств, но чтобы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретенные знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их развития средствами математики, нужно сначала понять, каковы особенности математических понятий, как устроены их определения, предложения, выражающие свойства понятий, и доказательства.
Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие свойства квадрата.
Среди свойств объекта различают свойства существенныеи несущественные для его выделения из других объектов. Свойство считают существеннымдля объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Несущественные свойства – это такие свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта. Так, например, названые свойства квадрата являются существенными, а свойство «сторона АВ квадрата является вертикальной» несущественное. Если квадрат повернуть, то сторона АВ окажется расположенной по – другому (Рис. 1).
В
В С
А С
А D
D Рис. 1
Поэтому, чтобы понимать, что представляет собой данный математический объект достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте.
Когда говорят о математическом объекте, то обычно имеют в виду всю совокупность объектов, обозначаемых одним термином, словом, названием. Так, когда говорят о квадрате, то имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Совокупность всех квадратов составляет объем понятия квадрата.
Определение.Объем понятия – это совокупность всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином.
Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.
Определение. Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.
Т. о., всякое понятие характеризуется термином, объемом, содержанием.
Замечание.Между объемом понятия и его содержанием существует связь: чем «больше» объем понятия, тем « меньше» его содержание, и наоборот.
Пример
Объем понятия «прямоугольный треугольник» «меньше» объема понятия «треугольник», поскольку в объем первого понятия входят не все треугольники, а только прямоугольные. Но содержание первого понятия «больше» содержания второго: прямоугольный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и другими, присущими только прямоугольным треугольникам.
Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи.
Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.
Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.
Дата добавления: 2021-01-26; просмотров: 780;