Проводники в электростатическом поле. Конденсаторы

а

+

-

-

-

-

+

+

+

б

Рис. 1.17

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле, то это поле будет действовать на свободные заряды проводника, в результате чего они начнут перемещаться – положительные вдоль поля, отрицательные – против поля (рис. 1.17, а). На одном конце проводника будет накапливаться избыток положительного заряда, на другом конце – избыток отрицательного заряда. Процесс происходит до тех пор, пока не установится равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри
проводника обращается в нуль (рис. 1.17, б).

Отсутствие поля внутри проводника ( ) означает, что
потенциал во всех точках внутри проводника постоянен, то есть поверхность проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной. Отсюда же вытекает, что вектор поля направлен по нормали к каждой точке поверхности проводника.

Таким образом, нейтральный проводник, внесенный в электростатическое поле, разрывает часть линий напряженности: они заканчиваются на отрицательных наведенных зарядах и вновь начинаются на положительных зарядах. Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией.

Рассмотрим уединенный проводник, то есть проводник, который удален от других проводников, тел и зарядов. Его потенциал согласно формуле (1.17) прямо пропорционален заряду проводника. Опыт показывает, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать

(1.38)

где коэффициент пропорциональности (1.39)

называют электрической емкостью (емкостью) проводника. Емкость уединенного проводника есть физическая скалярная величина, характеризующая способность проводника накапливать электрические заряды.

Так как заряды распределяются на внешней поверхности проводника, емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от
материала, агрегатного состояния и наличия полостей внутри проводника.

Единицей емкости в СИ является фарад (Ф): 1 Ф – это емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.

Согласно (1.17) потенциал уединенного шара радиуса R, находящегося
в однородной среде с диэлектрической проницаемостью , равен

Используя формулу (1.39), можно найти емкость шара:

Как следует из рассмотренного примера, для того, чтобы проводник
обладал значительной электроемкостью, он должен иметь очень большие геометрические размеры. На практике, однако, необходимы устройства,
обладающие способностью накапливать значительные по величине заряды при малых размерах и небольших потенциалах. Такие устройства называются конденсаторами.

Конденсатор представляет собой систему двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияние окружающие тела, поэтому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми зарядами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют: а) две плоские пластины; б) два соосных цилиндра; в) две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от геометрии обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические.

Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности поля начинаются на одной обкладке и кончаются на другой. Поэтому свободные заряды, возникающие на разных обкладках, являются равными по модулю разноименными зарядами.

Емкостью конденсатора называется физическая величина, равная
отношению заряда , накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов между его обкладками:

(1.40)

Рассчитаем емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды и .

(1.42)

Приведем без вывода формулы для расчета емкости конденсаторов
других конструкций:

– емкость цилиндрического конденсатора

где R и r – радиусы коаксиальных цилиндров, L – длина образующей цилиндров;

– емкость сферического конденсатора

где R и r – радиусы сфер.

Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значений
конденсаторы соединяют в батареи. Различают два вида соединений –
параллельное и последовательное.

При параллельном соединении (рис. 1.19, а) разность потенциалов между обкладками всех конденсаторов одинакова и составляет . Если емкости отдельных конденсаторов то их заряды равны

Общий заряд батареи равен сумме зарядов всех конденсаторов

Полная емкость батареи (1.43)

то есть при параллельном соединении конденсаторов электрическая
емкость батареи равна сумме емкостей входящих в нее конденсаторов.

При последовательном соединении (рис. 1.19, б) заряды всех конденсаторов одинаковы и равны заряду батареи. Разность потенциалов на зажимах батареи равна сумме разностей потенциалов на обкладках каждого из конденсаторов

где

+

-

+

-

+

-

.

.

A

B

a

.

.

+

-

+

-

+

+

A

B

б

Рис. 1.19

С другой стороны,

откуда

или

(1.44)

то есть при последовательном соединении конденсаторов суммируются
величины, обратные емкостям входящих в батарею конденсаторов. При таком соединении электрическая емкость батареи всегда меньше наименьшей емкости конденсатора, используемого в батарее. Преимущество последовательного соединения конденсаторов состоит в том, что на каждый конденсатор приходится лишь часть разности потенциалов между клеммами батареи, что уменьшает вероятность пробоя конденсаторов.

Энергия заряженного уединенного проводника равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник, то есть

(1.46)

Определим энергию заряженного конденсатора.

(1.49)

где объем конденсатора.

Объемная плотность энергии (энергия единицы объема) электростатического поля определяется как

(1.50)

Тема 13. Постоянный электрический ток

Электрическим током называют упорядоченное движение заряженных частиц или заряженных макроскопических тел. Различают два вида электрических токов – токи проводимости и конвекционные токи.

Током проводимости называют упорядоченное движение в веществе или вакууме свободных заряженных частиц – электронов проводимости
(в металлах), положительных и отрицательных ионов (в электролитах), электронов и положительных ионов (в газах), электронов проводимости
и дырок (в полупроводниках), пучков электронов (в вакууме). Этот ток
обусловлен тем, что в проводнике под действием приложенного электрического поля напряженностью происходит перемещение свободных электрических зарядов (рис. 2.1, а).

+

–

а

+

+

+

+

б

Рис. 2.1

Конвекционным электрическим током называют ток, обусловленный перемещением в пространстве заряженного макроскопического тела
(рис. 2.1, б).

Для возникновения и поддержания электрического тока проводимости необходимы следующие условия:

1) наличие свободных носителей тока (свободных зарядов);

2) наличие электрического поля, создающего упорядоченное движение свободных зарядов;

3) на свободные заряды, помимо кулоновских сил, должны действовать сторонние силы неэлектрической природы; эти силы создаются различными источниками тока (гальваническими элементами, аккумуляторами, электрическими генераторами и др.);

4) цепь электрического тока должна быть замкнутой.

За направление электрического тока условно принимают направление движения положительных зарядов, образующих этот ток.

Количественной мерой электрического тока является сила тока I – скалярная физическая величина, определяемая электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение S проводника в единицу времени:

(2.1)

Ток, сила и направление которого не изменяются с течением времени, называется постоянным (рис. 2.2, а). Для постоянного тока

I

t

i

t

I(t)= const

а

б

Рис.2.2 2.2

Электрический ток, изменяющийся с течением времени, называется
переменным. Примером такого тока является синусоидальный электрический ток, применяемый в электротехнике и электроэнергетике (рис. 2.2, б).

Единица силы тока – ампер (А). В СИ определение единицы силы тока формулируется следующим образом: 1 А – это сила такого постоянного тока, который при протекании по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, создает между этими проводниками силу, равную на каждый метр длины.

Для характеристики направления электрического тока проводимости
в разных точках поверхности проводника и распределения силы тока по этой поверхности вводится плотность тока.

Плотностью тока называют векторную физическую величину,
совпадающую с направлением тока в рассматриваемой точке и численно равную отношению силы тока dI, проходящего через элементарную поверхность, перпендикулярной направлению тока, к площади этой поверхности:

(2.2)

Единица плотности тока – ампер на квадратный метр (А/м²).

Плотность постоянного электрического тока одинакова по всему поперечному сечению однородного проводника. Поэтому для постоянного тока
в однородном проводнике с площадью поперечного сечения S сила тока равна

Если в цепи на носители тока действуют только силы электростатического поля, то происходит перемещение зарядов от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом. Это приводит к выравниванию потенциалов во всех точках цепи и к исчезновению тока. Поэтому для поддержания постоянного электрического тока в цепи необходимо наличие устройства, способного создавать и поддерживать разность потенциалов
за счет работы некоторых сторонних сил. Такие устройства называют
источниками тока.

Под действием сторонних сил носители тока движутся внутри источника электрической энергии против сил электростатического поля (против кулоновских сил, вызывающих соединение разноименных зарядов, а, следовательно, выравнивание потенциалов и исчезновение тока), так что на концах внешней цепи поддерживается постоянная разность потенциалов и в цепи протекает постоянный электрический ток.

Сторонние силы совершают работу по перемещению электрических
зарядов. Физическая величина, определяемая работой сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС) источника:

.

q

Аст.

=

e

(2.3)

Единица ЭДС – вольт (В).

Сторонняя сила, действующая на заряд , может быть выражена через напряженность поля сторонних сил

.

q

Е

F

ст.

ст.

=

Тогда работа сторонних сил по перемещению заряда на замкнутом
участке цепи будет равна

ò

ò

=

=

l

l

ст.

ст.

.

l

d

E

q

l

d

F

A

(2.4)

Разделив (2.4) на и учитывая (2.3), получим выражение для ЭДС, действующей в цепи,

ò

=

l

ст.

,

l

d

E

e

то есть ЭДС, действующая в замкнутой цепи, есть циркуляция вектора
напряженности поля сторонних сил. Как частный случай, ЭДС на участке
1-2 цепи равна

.

l

d

E

ст.

ò

=

e

(2.5)

На заряд помимо сторонних сил действуют также силы электростатического поля (кулоновские силы) Таким образом, результирующая сила, действующая в цепи на заряд , определяется следующим образом:

(

)

.

E

E

q

F

F

F

ст.

к

ст.

+

=

+

=

Тогда работа, совершаемая этой силой над зарядом на участке
1-2 цепи, равна

ò

ò

+

=

.

l

d

E

q

l

d

E

q

A

ст.

Используя выражение (2.5) и ранее полученное соотношение , можем записать

(2.6)

Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю, поэтому в такой цепи

Разделив (2.6) на , получим

(2.7)

то естьнапряжением на участке цепи называется физическая величина,
определяемая работой, совершаемой суммарным полем кулоновских и сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда.

Таким образом, напряжение является более широким понятием, чем
разность потенциалов: напряжение на участке цепи равно разности потенциалов только в том случае, если на этом участке не действует ЭДС, то есть сторонними силами не совершается работа. Такой участок электрической цепи называется однородным.

Немецкий физик Г. Ом (1787-1854) экспериментально установил, что
сила тока в однородном проводнике пропорциональна разности потенциалов на его концах и обратно пропорциональна сопротивлению проводника (закон Ома для участка цепи):

(2.8)

где R – электрическое сопротивление проводника, определяющее упорядоченность перемещения свободных носителей тока.

Электрическое сопротивление металлического проводника обусловлено тем, что свободные электроны при своем движении взаимодействуют (соударяются) с положительными ионами кристаллической решетки. Поэтому сопротивление проводников зависит, прежде всего, от материала проводника, то есть строения его кристаллической решетки. Для однородного цилиндрического проводника длиной l и площадью поперечного сечения S сопротивление определяется по формуле

(2.9)

где удельное сопротивление (сопротивление однородного цилиндрического проводника, имеющего единичную длину и единичную площадь поперечного сечения), характеризующее материал проводника.

Единица сопротивления – ом: 1 Ом – сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет постоянный ток силой 1 А.

Величина обратная сопротивлению, называется электрической проводимостью. Единица проводимости – сименс: 1См – электрическая проводимость проводника сопротивлением 1Ом.

Удельное электрическое сопротивление проводника зависит не только от рода вещества, но и от температуры:

(2.10)

где удельное сопротивление при 0^оС; t – температура (по шкале
Цельсия); температурный коэффициент сопротивления, характеризующий относительное изменение сопротивления проводника при его нагревании на 1^о С или 1К:

Температурные коэффициенты сопротивления веществ различны при разных температурах. Однако для многих металлов изменение с температурой невелико. Для всех чистых металлов

Закон Ома можно представить в дифференциальной форме. Подставив выражение для сопротивления (2.9) в закон Ома (2.8), получим

или

где величина называется удельной проводимостью (См/м). Учитывая, что напряженность электрического поля в проводнике,
а плотность тока, последнее выражение можно записать в следующем виде:

Так как в изотропном проводнике носители тока в каждой точке движутся в направлении вектора , то направления и совпадают. Поэтому,
в окончательном виде

(2.11)

Выражение (2.11) представляет собой закон Ома в дифференциальной форме, который связывает плотность тока в любой точке внутри проводника с напряженностью электрического поля в этой же точке. Это соотношение справедливо и для переменных полей.

Последовательное и параллельное соединение проводников.Электрическая цепь представляет собой совокупность различных проводников и источников тока. В общем случае цепь является разветвленной и содержит участки, где проводники могут соединяться последовательно и параллельно.

При последовательном соединении проводников (рис. 2.3, а):

а) сила тока во всех частях цепи одинакова (I = const);

б) напряжение на зажимах цепи равно сумме падений напряжений на
отдельных участках ( ).

Учитывая эти положения и используя закон Ома для однородного участка, найдем общее (эквивалентное) сопротивление цепи:

,

IR

...

IR

IR

IR

n

общ.

+

+

+

=

Или

å

=

=

n

i

i

общ.

.

R

R

(2.12)

Таким образом, общее сопротивление цепи, состоящей из последовательно соединенных проводников, равно сумме сопротивлений отдельных проводников.

Рис. 2.3

При параллельном соединении проводников (рис. 2.3, б):

I

U

a

U

б

а) сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме сил токов,
протекающих в разветвленных участках цепи ( );

б) падения напряжения в параллельно соединенных участках цепи
одинаковы и равны напряжению на зажимах цепи ( ).

С учетом этих положений и на основании закона Ома для однородного участка цепи найдем общее (эквивалентное) сопротивление цепи:

,

R

U

...

R

U

R

U

R

U

n

общ.

+

+

+

=

или

å

=

=

n

i

i

общ.

.

R

R

(2.13)

Таким образом, при параллельном соединении проводников складываются величины, обратные сопротивлениям отдельных участков цепи (проводимости ветвей).