ПОНЯТИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА

Этот вопрос важен тем, что он рассматривается в одной из практических работ, а также в самостоятельной работе.

Во многих случаях бывает удобно указывать не само значение оценки, а отрезок, интервал, содержащий неизвестное значение случайной величины или оцениваемой характеристики случайной величины.

Например, «среднее время ожидания троллейбуса от общежития 5–10 минут». Это не значит, что очередной троллейбус не может прийти через 1 или через 30 минут, но наиболее вероятное значение времени ожидания лежит в пределах от 5 до 10.

Для наглядности рассмотрим пример: стрельбу по мишени из винтовки.

Винтовка пристрелянная, у стрелка зрение хорошее, рука твёрдая.

Но из-за дыхания, ударов сердца, дрожания рук точного попадания, как правило, нет.

Подойдём к опыту со стрельбой с двух сторон: до выстрела и после выстрела.

1. Вешается новая мишень. До выстрела можно сказать, что отверстие от пули будет находиться где-то вблизи от центра мишени.

2. Выстрел по мишени сделан, после чего мишень убрана. В стене осталось отверстие от пули. Не зная, где была прикреплена мишень, можно сказать, что её центр находился где-то вблизи от пулевого отверстия в стене.

Взаимное удалённость пулевого отверстия и центра мишени в обоих случаях определяется только точностью стрельбы.

Теперь переформулируем наши наблюдения (при этом первое будет относиться к теории вероятности, второе – к статистике).

Если известно значение математического ожидания, то весьма вероятно, что в результате опыта случайная величина примет значение, мало отличающееся от математического ожидания.

Если математическое ожидание неизвестно, а на основании опыта получено значение случайной величины, то весьма вероятно, что математическое ожидание имеет значение, мало отличающееся от полученного в опыте значения.

Что значит «мало отличающееся»? Отличие значения случайной величины в опыте и математического ожидания соизмеримо со среднеквадратическим отклонением s.

Сделаем рисунок к первому выводу.

M(X)

M(X) – s

M(X) + s

интервал допуска

x

Вдоль горизонтальной оси отложены возможные значения случайной величины. Отметим на ней значение математического ожидания. Влево и вправо отложим отрезки величиной в среднеквадратическое отклонение. Вблизи полученного отрезка нарисуем сравнимый с ним по размерам интервал, который может быть назван интервалом допуска. Обоснованно ожидать, что значения случайной величины будут часто оказываться внутри него.

Для второго вывода можно также нарисовать картинку.

M(X)

x – s

x + s

доверительный интервал

x

По горизонтальной оси будем откладывать значения неизвестного оцениваемого математического ожидания.

На этой же оси отметим точку, соответствующую значению случайной величины, полученной в опыте. Отложим также влево и вправо по одному среднеквадратическому отклонению. Вблизи полученного отрезка также нарисуем интервал, сравнимый с отрезком по размеру. Этот интервал называется доверительным интервалом. Неизвестное математическое ожидание, вероятнее всего, находится внутри этого интервала.

Для примера со стрельбой по мишени s определяется кучностью стрельбы используемой винтовки.

Нам доверительный интервал нужен для оценивания математического ожидания. При этом случайной величиной у нас является выборочное среднее, а неизвестной искомой величиной – математическое ожидание.

Определение.

Доверительный интервал – это отрезок на оси значений оцениваемой характеристики случайной величины(например, математического ожидания), который с заданной вероятностью накрывает неизвестное значение оцениваемой характеристики.(Накрывает или, другими словами, содержит внутри себя.)

В нашем примере доверительный интервал располагается в окрестности значения выборочного среднего и содержит внутри себя неизвестное оцениваемое математическое ожидание с весьма высокой вероятностью.

Вероятность того, что оцениваемое математическое ожидание окажется в пределах доверительного интервала называется доверительной вероятностью.

Доверительная вероятность задаётся. Она является мерой доверия к оценке.

Точки на оси, ограничивающие доверительный интервал, называются доверительными границами.

Границы доверительного интервала однозначно связаны с доверительной вероятностью.

Выясним, какова эта связь для нормально распределённой случайной величины.

Рассматривая симметричные интервалы нормального распределения, мы записывали вероятность попадания значения случайной величины Х в интервал ±s

P( M(X) – s £ Х < M(X) + s ) = 0,682 .

Почему мы рассматриваем именно нормально распределённую случайную величину?

Математиками установлено, что при объёме выборки большем 25 любая статистика имеет распределение очень близкое к нормальному. И выборочное среднее здесь не исключение.

Математическое ожидание этого распределения выборочного среднего совпадает с математическим ожиданием случайной величины M(X), а дисперсия равна или, при другом обозначении, .

Поэтому для выборочного среднего , вычисленного по выборке объёмом n, справедливо то же соотношение

P( M(X) – £ < M(X) + ) = 0,682 .

Т.е. 0,682 – это вероятность того, что выборочное среднее окажется внутри интервала допуска шириной ± .

Путём нескольких несложных математических преобразований из предыдущего равенства можно строго получить похожее выражение для математического ожидания.

Для этого мы преобразуем неравенство, стоящее в скобках, но так, чтобы его вероятность осталась прежней.

Вычтем из всех трёх частей внутреннего двойного неравенства математическое ожидание. При этом справедливость неравенства не нарушится, а его вероятность не изменится.

– M(X): P( – £ – M(X) < ) = 0,682 .

Теперь из всех частей неравенства вычтем выборочное среднее.

– : P( – – £ – M(X) < – + ) = 0,682 .

И, наконец, умножим все части неравенства на «–1». При этом знаки неравенства изменятся на противоположные.

× (-1): P( + ³ M(X) > – ) = 0,682 .

Перепишем полученное выражение, чтобы неравенство шло в порядке возрастания

P( – < M(X) £ + ) = 0,682 .

Ввиду того, что точное значение не известно, заменяем его его оценкой :

P( – < M(X) £ + ) ≈ 0,682 .

Равенство при этом перестаёт быть точным, но мы в дальнейшем будем на это закрывать глаза.

Смысл полученной записи следующий:

неизвестное математическое ожидание M(X) находится в границах ± вокруг значения выборочного среднего с вероятностью 0,682.

Таким образом, 0,682 – это доверительная вероятность.

А границы ± от задают доверительный интервал, накрывающий неизвестное оцениваемое значение математического ожидания M(X).

Теперь у нас имеется связь между доверительной вероятностью и границами доверительного интервала. При условии, конечно, что наша случайная величина имеет нормальное распределение.

Если мы вдвое увеличим интервал и сделаем его от – 2 × до + 2 × ,

т.е. шириной по две среднеквадратические ошибки в каждую сторону, то ему будет соответствовать бòльшая доверительная вероятность: P_дов = 0,955.

Если интервал будет от – 3 × до + 3 × ,

т.е. по три среднеквадратические ошибки, то доверительная вероятность ещё больше увеличится: P_дов = 0,997.