Действия с понятиями


При выполнении логических действий с понятиями из одного или нескольких понятий на основании преобразования их логической формы получают новое понятие. В формальной логике рассматривают только такие действия с понятиями, которые сводятся к преобразованию объемов этих понятий, то есть каждому действию с понятиями сопоставляется операция с классами или множествами (объемами этих понятий).

 

Пусть имеются два сравнимых понятия [, выражаемых предикаторами]: Аn(x1, …, xn) и Bn(x1, …, xn) (выражение в квадратных скобках в дальнейшем опускается). Сложением двух этих понятий называется такое логическое действие, при котором образуется новое понятие (сумма), выражаемое предикатором, полученным из предикаторов Аn(x1, …, xn) и Bn(x1, …, xn) с помощью коннектора неисключающей дизъюнкции; то есть сумма понятий, выражаемых предикаторами Аn(x1, …, xn) и Bn(x1,…,xn), выражается предикатором

Аn(x1,…, xn)Ú Bn(x1,…, xn);

при этом исходные понятия называются слагаемыми. Сложению понятий соответствует операция объединения классов; она обозначается знаком È. Таким образом,

Аn È Bn D {áx1, x2, ..., xnñ½ Аn(x1, …, xn) Ú Bn(x1, …, xn)}

(знак D – «равно по определению» или «является сокращением для»: знак номинального определения).

Как видно из определения сложения понятий, объединение Аn È Bn двух классов Аn и Bn содержит все те и только те элементы из области определения понятий, которые принадлежат классу Аn или принадлежат классу Bn (или неисключающее).

Умножением двух понятий Аn(x1, …, xn) и Bn(x1, …, xn) называется такое логическое действие, при котором образуется новое понятие (произведение), выражаемое предикатором, полученным из предикаторов Аn(x1, …, xn) и Bn(x1, …, xn) с помощью коннектора конъюнкции; то есть произведение понятий, выражаемых предикаторами Аn(x1, …, xn) и Bn(x1, …, xn), выражается предикатором

Аn(x1, …, xn) Ù Bn(x1, …, xn);

при этом исходные понятия называются сомножителями. Умножению понятий соответствует операция пересечения классов; она обозначается знаком Ç. Таким образом,

Аn Ç Bn D {áx1, x2, ..., xnñ½ Аn(x1, …, xn) Ù Bn(x1, …, xn)}.

Как видно из определения умножения понятий, пересечение Аn Ç Bn двух классов Аn и Bn содержит все те и только те элементы из области определения понятий, которые принадлежат классу Аn и принадлежат классу Bn.

Отрицанием понятия Аn(x1, …, xn) называют логическое действие, при котором получают новое понятие, выражаемое предикатором ØАn(x1, …, xn); результат действия отрицания понятия тоже называют отрицанием. Отрицанию понятия соответствует операция с классами, которая называется дополнением класса до универсума; то же название используют для обозначения результата этой операции. Дополнение класса до универсума обозначается с помощью символа ¯ ; таким образом, объем отрицания понятия Аn(x1, …, xn) выражается следующим образом: Ān D {áx1, x2, ..., xnñ½ ØАn(x1, …, xn) }.

Вычитанием понятия Bn(x1,…, xn) из понятия Аn(x1, …, xn) называют умножение понятия Аn(x1, …, xn) на отрицание понятия Bn(x1, …, xn); то есть разность (результат вычитания) двух понятий: Аn(x1, …, xn) (уменьшаемого) и Bn(x1, …, xn) (вычитаемого), выражается предикатором

Аn(x1, …, xn) Ù Ø Bn(x1, …, xn).

Вычитанию понятий соответствует операция с классами, которая носит то же название: вычитание классов (множеств). Таким образом, результат вычитания множества Bn из множества Аn совпадает с результатом пересечения множества Аn с дополнением до универсума множества Bn:

 

n Ç n D {áx1, x2, ..., xnñ½ Аn(x1, …, xn) Ù Ø Bn(x1, …, xn)}­

 

При записи операций с классами действует соглашение о скобках для знаков Ú, Ù, Ø, перенесенное на знаки È, Ç и ¯ соответственно.

На основании определения логических действий с понятиями могут быть доказаны законы логики классов.

Пусть Аn , Bn , Сn – объемы сравнимых понятий Аn(x1, …, xn), Bn(x1, …, xn), Сn(x1, …, xn) соответственно; знаки È, Ç, ¯, Ø, 1 – знаки объединения, пересечения, дополнения до универсума, объема пустого понятия и объема универсального понятия соответственно. Тогда для любых Аn , Bn , Сn имеют место следующие равенства:


1.1. (Аn Ç Bn) = Аn È Bn законы де Моргана

1.2. (Аn È Bn) = Аn Ç Bn дляклассов,

 


1.3. Аn = Аn – закон двойного отрицания для классов ,

1.4. Аn = Аn – закон тождества для классов,

1.5. Аn Ç Bn = Bn Ç Аn – коммутативность Ç,

1.6. Аn È Bn = Bn È Аn – коммутативность È,

1.7. (АnÇBn)ÇСn = АnÇ( BnÇСn) – ассоциативность Ç,

1.8. (АnÈBn)ÈСn = АnÈ(BnÈСn) – ассоциативность È,

1.9. АnÇ( BnÈСn)=(АnÇBn)È(АnÇСn) – дистрибутивность ÇотносительноÈ,

1.10.АnÈ(BnÇСn)=(АnÈBn)Ç(АnÈСn) – дистрибутивность ÈотносительноÇ,

1.11. Аn Ç ( Аn È Bn) = Аn – поглощение,

1.12. Аn È (Аn Ç Bn) = Аn – поглощение,

1.13. Аn Ç Аn = Аn –идемпотентность,

1.14. Аn È Аn = Аn – идемпотентность,

1.15. а) Аn Ç1 = Аn; б) Аn Ç Ø = Ø – законы для нуля и

1.16. а) Аn È1 = 1; б) Аn È Ø = Аn единицы.

 

Булевой алгеброй называют всякое множество с выделенными на нем двумя элементами («нулем» и «единицей») и определенными на нем двумя двуместными операциями («сложение» и «умножение») и одноместной операцией («отрицание»), удовлетворяющими вышеперечисленным законам. Таким образом, множество всех классов с пустым (Ø) и универсальным (1) классами, на котором определены операции объединения (È), пересечения (Ç), дополнения до универсума ( ¯ ), удовлетворяющие законам логики классов, является примером булевой алгебры (с Ø и 1в качестве«нуля» и «единицы» и операциями «дополнения до универсума», «объединения», «пересечения» в качестве «отрицания», «сложения» и «умножения» соответственно).

Обобщением понятия Аn(x1, …, xn) называется логическое действие, при котором от понятия Аn(x1, …, xn) переходят к родовому понятию Bn(x1, …, xn), то есть такому понятию, для которого выполнено соотношение: Аn Ì Вn.

Ограничением понятия Аn(x1, …, xn) называется логическое действие, при котором от понятия Аn(x1, …, xn) переходят к видовому понятию Bn(x1, …, xn), то есть такому понятию, для которого выполнено соотношение: Вn Ì Аn.

При обобщении понятия объем его увеличивается за счет удаления некоторого признака из содержания понятия. При ограничении понятия объем его уменьшается за счет включения в его содержание дополнительного признака.

Делением понятия Аn(x1, …, xn) в логике называют логическое действие, при котором объем понятия Аn(x1, …, xn) разбивается на m непересекающихся классов (m=2,…) путем добавления к содержанию понятия дополнительных признаков или их отрицаний. Понятие, объем которого разбивается, называется делимым понятием. Понятия, объемами которых являются непересекающиеся классы, называются членами деления. Признак, с помощью которого производится разбиение объема делимого понятия на непересекающиеся классы, называется основанием деления. Таким образом, деление понятия можно представить следующей схемой:

 

Аn(x1, …, xn) делимое понятие,

основание деления,

B1n(x1, …, xn)

B2n(x1, …, xn) члены деления.

…

Bmn(x1, …, xn)

 

Различают два вида деления: дихотомическое деление и деление по видоизменению основания. При дихотомическом делении объем делимого понятия Аn(x1, …, xn) делится на два непересекающихся подмножества, одно из которых является объемом некоторого видового (по отношению к Аn(x1, …, xn)) понятия Вn(x1, …, xn), а другое – объемом Аn(x1, …, xn)Ù Ø Bn(x1, …, xn). Таким образом, члены дихотомического деления получаются из делимого понятия путем добавления в содержание делимого понятия признака, являющегося основанием деления, или его отрицания.

Пример 3.1.Примером дихотомического деления является следующее деление:

х – человек: А1(x) делимое понятие;

основание деления: пол;

х – человек мужского пола: В1(x) члены деления.

х – человек немужского пола: ØВ1(x)

 

ОО: живые организмы

Аn АnÇBn АnÇBn
В1

 

 

 


При делении по видоизменению основания в качестве основания деления используются предметно-функциональные характеристики элементов объема делимого понятия.Предметно-функциональные характеристики представляют собой понятия, то есть предикаты, полученные из операций или предикатов, определенных на области определения делимого понятия; они записываются в ЯЛФРТ предикаторами, полученными из операторов или предикаторов (см. тему 2, стр.59-61).

Пример 3.2.

х – конкретный одноцветный предмет: А1(x) делимое понятие;

х – цвет: основание деления;

 

х – красный предмет: В11(x)

х – оранжевый предмет: В21(x)

х – желтый предмет: В31(x) члены деления;

…

х – фиолетовый предмет: В71(x)

 

 

ОО: конкретные предметы

В11 В21 В71 В31 В61 В41 В51 В51

 

 


.

 

С помощью деления по видообразующему признаку в науке вводятся так называемые сравнительные понятия, например, «х – ветер силой в n баллов по шкале Бофорта (n= 0,1,2,…,12)», «х – землетрясение силой в n баллов по международной сейсмической шкале MSK-64 (n=0, 1, 2, …, 12)», «х – чиновник n-ого ранга по «Табели о рангах» (n=1, 2, …, 12)» и т.д.


Дата добавления: 2021-01-26; просмотров: 288;

Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.016 сек.