Кинематика поступательного и вращательного движения

При рассмотрении задач данного раздела вводят понятие материальной точки (МТ). За материальную точку может быть принято любое тело, обладающее массой, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Линия, описываемая материальной точкой в пространстве при ее движении, называется траекторией. Уравнение траектории для плоского движения имеет вид

.

Движение материальной точки в пространстве определяется законом движения, который для МТ может быть задан в виде трех скалярных уравнений:

,

,

,

либо эквивалентным векторным уравнением:

.

Быстроту движения материальной точки характеризуют средней скоростью

или ,

где s – путь, пройденный за время , и мгновенной скоростью

,

которая может быть записана, как любой вектор, в координатной форме:

, а модуль ,

где проекции скорости ; ; .

Быстроту изменения скорости при неравномерном движении характеризует ускорение: среднее ускорение

и мгновенное ускорение

.

С другой стороны,

,

где проекции вектора ускорения равны соответствующим производным по времени от проекций скорости:

; ;

В криволинейном движении осями координат могут быть касательная к траектории движения материальной точки и нормаль к ней. Орты осей в этом случае . При этом полное ускорение

, а его модуль ,

где тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости и направлено по касательной к траектории:

, вектор ;

нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления скорости и направлено по нормали к центру кривизны траектории:

, вектор .

Здесь R – радиус кривизны траектории.

Движение материальной точки по окружности характеризуют угловой скоростью

,

и угловым ускорением

, .

Угловые и линейные величины связаны следующими соотношениями:

;

;

.

Зная зависимость или , можно найти и :

, .

Например, для равнопеременного поступательного движения ( и равнопеременного вращения ( ) получаем:

, ;

, .