Обобщенные законы Кеплера.
Дифференциальное уравнение (2) имеет следующие первые интегралы:
Интеграл площадей
(3)
Где -постоянный вектор момента количества движения. В силу постоянства орбита тела будет являться плоской кривой. Если в этой плоскости ввести полярные координаты r и υ, то интеграл площадей можно записать в виде:
………………….. (4)
из которого следует второй закон Кеплера (закон площадей). Если –площадь, описываемая радиусом вектором за интервал времени , то секториальная скорость:
. (5)
Отсюда
(6)
Иными словами, площадь описываемая радиус – вектором, пропорциональна интервалам времени движения.
Сила, входящая в уравнение относительного движения, является потенциальной. Потенциал этой силы определяется выражением
Интеграл энергии. Из уравнения движения (2) следует закон сохранения энергии
(7)
Здесь - постоянная, равная полной механической энергии, отнесенной к массе движущегося тела.
Так как то при уравнение (7) будет выполняться для любых r, и движение не ограничено в пространстве. При ˂ 0 движение ограничено в пространстве.
В общем виде уравнение орбиты (решение уравнение (2)) имеет вид:
, (8)
где - истинная аномалия и – эксцентриситет.
Величина эксцентриситета определяется значением полной энергии и равна:
. (9)
фокальный параметр равен:
(10)
Как видно из (9), возможны три вида траекторий:
1. 0 ≤ е ˂ 1 (һ˂0) - эллипс (е = 0 – окружность);
2. е = 1 (һ=0) - парабола;
3. е > 1 (һ>0)- гипербола.
Формула (8) определяет собой аналитическое выражение первого обобщенного закона Кеплера.(схема 8)
Под действием силы притяжения одно небесное тело движется в поле тяготения другого небесного тела по одному из конических сечений – кругу, эллипсу, параболе или гиперболе.
В общем случае при эллиптическом движении наиболее близкая к центральному телу точка орбиты называется перицентром, а наиболее далекая – апоцентром. При движении вокруг Солнца эти точки называются перигелиемиафелием.
Третий обобщенный закон Кеплера. Для эллиптического движения легко получить связь между сидерическим периодом обращения Т и большой полуосью а орбиты. Учитывая, что площадь эллипса и радиус – вектор описывает его за период Т, имеем из (5): . С другой стороны, из (10) следует, что
…… (11)
Приравнивая эти два выражения, получим:
(12)
Это соотношение представляет собой третий обобщенный закон Кеплера. Он справедлив для любых двух притягивающихся материальных тел, будь то планеты, двойные звезды или искусственные небесные тела, ибо в правую часть соотношения (12) входят универсальные постоянные.
Пусть М1 – масса Солнца, m1 – масса планеты, a1 и Т1 – соответственно большая полуось и сидерический период обращения планеты вокруг Солнца. Если имеется другая система, например планета М2 и спутник планеты массой m2, который обращается вокруг планеты с периодом Т2 на среднем расстоянии a2, то для этих двух систем справедлив третий обобщенный закон Кеплера (12), который принимает вид:
= (13)
При движении двух тел малой массы вокруг одного центрального тела, например при движении планет вокруг Солнца, в формуле (13) следует положить М1 = М2, m1 « М1, m2 « М2, и тогда
то есть получаем третий эмпирический закон Кеплера.
Из выражения для эксцентриситета (9) и (11) легко найти, что
Тогда уравнение интеграла энергии (7) принимает вид:
(14)
Эта формула справедлива для любого типа движения. Для эллиптической орбиты a> 0, для параболической орбиты a = , а для гиперболической a ˂ 0.
Характеристические скорости кеплеровского движения. Для каждого расстояния rот центрального тела имеются две характерные скорости: одна при r = a – круговая скорость
(15)
имея которую, обращающееся тело движется по круговой орбите; другая – параболическая скорость
при которой движущееся тело уходит центрального тела по параболе a = . Очевидно, что всегда .
При обращении тела по эллиптической орбите средняя орбитальная скорость совпадает с круговой скоростью
(16)
где a - большая полуось орбиты и - сидерический период обращения. Из равенств (14) и (16) найдем, что в любой точке эллиптической орбиты на расстоянии r от центрального тела обращающееся тело имеет скорость
(17)
Скорость в перицентре определяется при r = q = a (1 - e),а скорость в апоцентре – при r = Q = a (1 + e).
В ограниченной задаче двух тел и определяется только массой центрального тела. Пренебрегая в первом приближении взаимным притяжением планет, можно рассматривать движение каждой из них вокруг Солнца в условиях ограниченной задачи двух тел. Тогда у любой планеты средняя скорость
. (18)
Схема 8. Законы Кеплера
Контрольные вопросы:
1. Интегралы движения (интеграл площадей, интеграл энергий).
2. Теоретическое обоснование обобщенных законов Кеплера.
3. Характеристические скорости движения в поле центральной силы.
Рекомендуемые задания на СРС:
1. Закон Всемирного тяготения: история открытия и роль в физической картине мира.
2. И. Ньютон: жизнь и научная деятельность – вклад в развитие физики и астрономии.
3. Движение космических аппаратов.
Дата добавления: 2021-01-11; просмотров: 730;