Систематические и случайные погрешности

Систематической погрешностью называется погрешность, остаю-щаяся постоянной или закономерно изменяющейся во времени при повтор-ных измерениях одной и той же величины.

Примером систематической погрешности, закономерно изменяющей-ся во времени, может служить смещение настройки прибора во времени.

Случайной погрешностью измерения называется погрешность, ко-торая при многократном измерении одного и того же значения не остаётся постоянной. Например, при измерении валика одним и тем же прибором в одном и том же сечении получаются различные значения измеренной величины.

Систематические и случайные погрешности чаще всего появляются одновременно.

Для выявления систематической погрешности производят многократные измерения образцовой меры и по полученным результатам определяют среднее значение размера. Отклонение среднего значения от размера образцовой меры характеризует систематическую погрешность. которую называют "средней арифметической погрешностью", или "средним арифметическим отклонением".

Систематическая погрешность всегда имеет знак отклонения, т.е. "+" или "-". Систематическая погрешность может быть исключена введением поправки.

При подготовке к точным измерениям необходимо убедиться в отсутствии постоянной систематической погрешности в данном ряду измерений. Для этого нужно повторить измерения, применив при этом уже другие средства измерения. По возможности нужно изменить и общую обстановку опыта - производить его в другом помещении, в другое время суток.

Прогрессивные и периодические систематические погрешности в противоположность постоянным можно обнаружить при многократных измерениях.

Обработка данных и оценка параметров случайных погрешностей производится методами математической статистики, изложенными в [42, 50].

При расчёте предельной погрешности измерения определяют числовое значение погрешности измерения от всех составляющих и производят суммирование:

,

где знаки "+" или "-" ставятся из условия, чтобы систематические и случайные погрешности суммировались по модулю.

Если в случайной погрешности известно среднее квадратическое отклонение, то

,

где К - показатель, указывающий доверительные границы для предельной случайной погрешности измерения (при К=1 р=0,65; при К=2 р=0,945; при К=3 р=0,9973).

Если результаты измерений зависят от большого числа разнообразных факторов, то

y = F(x₁, x_2, …..x_n) ,

где x_i - переменные функциональные параметры.

Каждый параметр может иметь отклонение Dx_i (погрешность) от предписанного значения x_i. Поскольку погрешность Dx_i мала по сравнению с величиной x_i, суммарная погрешность Dy функции y можно вычислять по формуле , (3.1)

где ¶y/¶x_i - передаточное отношение (коэффициент влияния) параметра x_i.

Формула (3.1) справедлива лишь для систематических погрешностей Dx_i.

Для случайных погрешностей (когда отдельные составляющие не всегда принимают предельные значения) используются теоремы теории вероятностей о дисперсии, то есть

. (3.2)

Суммарная погрешность при наличии только случайных составляющих dx_i погрешностей

,

где m - число попарно корреляционно связанных параметров;

k_i и k_j - коэффициенты относительного рассеяния, характеризующие степень отличия закона распределения погрешности данного параметра от нормального;

r_ij - коэффициент корреляции, существующий при наличии корреляционной связи между параметрами x_i и x_j.

При наличии и систематических и случайных составляющих погрешностей вычисляют доверительные границы суммарной погрешности:

Dy_сум = Dy ± k×s_y ,

где k - масштабный коэффициент интервала распределения, зависящий от закона распределения и принятой доверительной вероятности. Так, при доверительной вероятности Р = 0,95 для закона нормального распределения k = 2, а для закона Максвелла k = 3,6.

Пример. В результате измерений и последующего вычисления по формуле (3.1) получена суммарная систематическая погрешность результата измерения Dy =

-0,7 мкм, среднее квадратическое этого результата измерения, вычисленное по формуле (3.2) s_y = 0,4 мкм. При доверительной вероятности Р =0,95 предел допускаемой погрешности d_изм = +1 мкм. Тогда верхняя и нижняя доверительные границы погрешности

Dy_{сум в} = -0,7 + 2×0,4 = +0,1 мкм; Dy_{сум н} = -0,7 - 2×0,4 = -1,5 мкм.

Так как Dy_{сум н} > d_изм , выбранный метод и средство измерения не удовлетворяют требованиям точности. Следовательно, необходимо скомпенсировать систематическую составляющую погрешности, например, путём изготовления образца для настройки измерительного средства. Размер образца должен быть больше его начального размера на 0,7 мкм; тогда будет справедливо неравенство 0,8 < 1 мкм и проведённые измерения будут удовлетворять требованиям по точности.