Поверхности (линии) уровня
Пусть в трехмерном пространстве имеется область D, в которой задана функция
.
В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле.
Если, например, функция обозначает температуру в точке , то говорят, что задано скалярное поле температур; если область D заполнена жидкостью или газом и обозначает давление, то имеется скалярное поле давлений и т. д.
Рассмотрим точки области D, в которых функция имеет постоянное значение :
.
Совокупность этих точек образует некоторую поверхность. Если возьмем другое значение , то получим другую поверхность. Эти поверхности называются поверхностями уровня.
Пример. Пусть задано скалярное поле
.
Здесь поверхностями уровня будут поверхности
,
т. е. эллипсоиды с полуосями , , .
Если функция есть функция двух переменных и :
,
то «поверхностями» уровня будут линии на плоскости :
,
которые называются линиями уровня.
Если значения мы будем откладывать по оси , то линиями уровня на плоскости будут проекции линий, которые получаются в пересечении поверхности с плоскостями . Зная линии уровня, легко исследовать характер поверхности .
Пример.Определить линии уровня функции .
Решение. Линиями уровня будут линии с уравнениями . Это окружности радиуса . В частности, при получаем окружность . График данной функции, а также получаемые линии уровня изображены на рисунке.
Дата добавления: 2021-01-11; просмотров: 345;