Понятие функции нескольких переменных

При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров.

Пример. Площадь прямоугольника со сторонами, длины которых равны и , выражается формулой

.

Каждой паре значений и соответствует определенное значение площади . есть функция двух переменных.

Пример. Объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны , , , выражается формулой

.

Здесь есть функция трех переменных , , .

Пример.

Здесь есть функция четырех переменных , , , .

Определение.Множество всех упорядоченных наборов действительных чисел называется -мерным арифметическим пространством и обозначается Rⁿ , а его элементы – точками пространства Rⁿ( мерными точками). Числа при этом называют координатами точки . Точку называют началом координат.

Пусть DÌRⁿ — произвольное множество точек n-мерного арифметического пространства.

Определение.Числовой функцией(или отображением) от переменных, определенной на множестве D называется закон, по которому каждой точке Î D ставится в соответствие некоторое вполне определенное действительное число .

Обозначения: :Rⁿ®R или .

Множество D при этом называют областью определения, а множество

R | , D}— множеством значений функции = .

В частном случае при функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точек плоскости.

Частное значение функции при , обозначают , , и т.д.

Функция двух переменных и может быть задана аналитическим, табличным, графическим, программным (алгоритмом вычисления по значениям и ) и другими способами.

Функцию двух переменных можно изобразить в трехмерном пространстве при выбранной декартовой системе координат как множество точек пространства ÎR³, координаты которых удовлетворяют уравнению , которое, вообще говоря, есть уравнение некоторой поверхности в R³. Проекцией этой поверхности на плоскость является область определения D . Каждый перпендикуляр к плоскости пересекает поверхность не более чем в одной точке (в силу однозначности функции).

Замечание.Функцию трех и более переменных изобразить графически невозможно.

Пример. Найти область определения функции .

Решение.Аналитическое выражение имеет смысл при любых действительных значениях и . Следовательно, областью определения является вся числовая плоскость т.е. D =R² .

Пример. Найти область определения функции .

Решение.Аналитическое выражение имеет смысл при , следовательно, областью определения этой функции являются I и III четверти плоскости , включая оси и , т.е. область, заштрихованная на рисунке.

Пример. Найти область определения функции .

Решение.Для того, чтобы имело действительное значение, необходимо, чтобы под корнем было неотрицательное число, т.е. и должны удовлетворять неравенству или .

Все точки , координаты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга, т.е. область, заштрихованная на рисунке.

Пример. Найти область определения, множество значений функции , построить график.

Решение.Область определения этой функции D =R²,множество значенийЕ . Графиком данной функции в пространстве R³является параболоид вращения.

Пример. Найти область определения и множество значений функции .

Решение.Данная функция определена, если или , откуда D { R³ | }, т. е. областью определения D данной функции является множество точек открытого трёхмерного шара радиуса , а Е( .