Диэлектрики, полупроводники и металлы

В квантовой механике полный набор величин, т.е. набор вели­чин, достаточный для полного описания состояния квантовомехани­ческой системы, состоит из четырех величин, одной из которых обя­зательно является проекция спина на некоторое выделенное направление (обычно ось z), а три другие определяются видом квантовой системы. В атоме обычно рассматривают энергию Е, модуль момента импульса ÷М ê и проекцию момента импульса М_z, которые соответст­венно описываются квантовыми числами: n ,l, m. В кристалле более удобны проекции квазиимпульса электрона и проекция спина.

Принцип Паули утверждает, что каждый полный набор может быть реализован в данной квантовой системе только один раз. Полное число различных значений волнового вектора в кристалле с ребрами L_i = N_i a_i вдоль направлений ребер элементарной ячейки a_i состав­ляет N = N₁N₂N₃ и равно числу элементарных ячеек в кристалле. По­этому в энергетической зоне и соответствующей ей зоне Бриллюэна имеется 2N состояний (умножение на 2 учитывает две возможные ориентации спина электрона).

При образовании кристалла электроны заполняют энергетиче­ские уровни в соответствии с принципом Паули, и на каждом уровне располагаются по два электрона. Электриче­ские свойства кристалла определяются в первую очередь степе­нью заполнения зон электронами. Если на каждую элементарную ячейку приходится один атом одновалентного элемента, то в энерге­тической зоне будет занято электронами ровно половина возможных состояний - уровней. Если кристалл образован атомами двухвалент­ного элемента, и каждый атом может отдать в энергетическую зону два электрона, то эта зона может быть заполнена электронами цели­ком, т.е. точно все уровни окажутся занятыми. Такая же ситуация может реализоваться в кристалле, образованном одновалентными атомами, если на каждую эле­ментарную ячейку приходится по два атома.

Энергетическая зона, в которой нет ни одного электрона, не мо­жет внести никакого вклада в проводимость кристалла вследствие отсутствия носителей заряда, способных создать электрический ток. Это утверждение справедливо и для полностью заполненной электро­нами зоны. Под действием поля электрон может переходить только на свободные уровни зоны, а если их нет, то электрическое поле не мо­жет создать направленного движения носителей заряда, поскольку ускорение электрона в электрическом поле сопровождается увеличе­нием его энергии. Межзонные переходы под действием электриче­ского поля маловероятны, ввиду значительной ширины запрещенной зоны в сравнении с энергией сообщаемой электрическим полем.

Вывод: электроны могут создать ток проводимости в кри­сталле только в том случае, если они находятся в незаполненной зоне.

Проводниками при образовании кристаллов становятся те веще­ства, которые при любой температуре имеют энергетическую зону, заполненную электронами не полностью. Возможные в этом случае варианты структуры энергетических зон показаны на рисунках 39.7. и 39.8. На рисунке 39.7 ситуация соответствует атомам элемента, имеющим по одному валентному электрону, и соот­ветствующая зона (валентная зона) оказалась наполовину заполнен­ной. Такая ситуация характерна для веществ с нечетным числом ва­лентных электронов. Электроны незаполненной валентной зоны в электрическом поле могут осуществлять перенос заряда, и валентная зона является зоной проводимости.

Рисунок 39.
8 соответствует четному числу валентных электронов атомов кристалла. Такой кристалл должен был бы стать непроводником по крайней мере при абсолютном нуле. Но особенности структуры энергетических зон, а именно то, что минимум верхней зоны оказался энергетически ниже максимума низшей зоны, определяют возможность для электронов занять низшие энергетические состояния в верхней зоне и участвовать в создании тока проводимости. В этом случае говорят, что наблюдается перекрытие энергетических зон.

К непроводникам отно­сятся те веще­ства, в которых имеется не­которое количе­ство целиком заполненных зон, от­деленных от свобод­ных зон запрещенной зоной. В зависи­мости от ширины за­прещенной зоны эти вещества очень при­ближенно делят на полупро­водники, с запрещенной зоной до » 3 эВ, и диэлектрики, с запрещен­ной зоной более » 3 эВ. С этой точки зрения полу­проводники логич­ней было бы называть полудиэлектриками или полуизоляторами. Структура энер­гетических зон для непроводников показана на ри­сунке 39.9.

При низких температурах, когда тепловая энергия k_BT пренеб­ре­жимо мала по сравнению с шириной запрещенной зоны, электроны валентной, полностью заполненной зоны, не могут создать электриче­ского тока, и такие кристаллы являются изоляторами.

С повышением температуры, при не слишком большой ширине запрещенной зоны, вероятность перехода электронов валентной зоны в верхнюю пустую зону увеличивается и становится ощутимой. Соот­ветственно заметное количество электронов валентной зоны перехо­дят в свободную зону и получают возможность двигаться во внешнем электрическом поле, т.е. создавать электрический ток. В результате сопротивление кристалла быстро (почти по экспоненци­альному закону) уменьшается с ростом температуры. Такие кри­сталлы называют полупроводниками, а зоной проводимости называется верхняя незаполненная зона.

Освободив­шиеся уровни в валентной зоне могут быть заняты оставшимися элек­тронами валентной зоны, если им будет сообщаться дополнительная энергия, например электрическим полем. Поэтому электроны валент­ной зоны тоже участвуют в создании электрического тока в кристалле.