Определение перемещений при поперечном изгибе интегрированием дифференциального уравнения изогнутой линии балки.

Интегрируя первый раз, получим:

Разделив на жёсткость сечения , получим уравнение для углов поворота сечений:

,

где С первая постоянная интегрирования. Определяем из граничных условий:

Для балки с одной точкой опоры (консоль) угол поворота в точке опоры равен нулю:

Для балки на двух и более опорах углы поворота в опорах будут принимать максимальные значения. Угол поворота будет равен нулю на границе между участками. Если на эпюре изгибающего момента есть вершина параболы, то можно взять значение х в том месте, где на эпюре изгибающего момента максимум:

Интегрируя уравнение для углов поворота ещё раз, получим уравнение перемещений (прогибов):

,

где D вторая постоянная интегрирования. Определяем из граничных условий:

Для балки с одной точкой опоры перемещение в точке опоры равно нулю:

При найденном уже значении С, можно вычислить D. Для балки с одной точкой опоры максимальное перемещение будет на свободном конце (при х=0) и будет равно:

,

где - жесткость сечения при изгибе. Если знак « + », перемещение направлено вверх и совпадает с направлением вверх оси оу. Если знак « - », то перемещение направлено вниз.

Мы научились находить перемещение, если участок один.

Граничные условия выбираются в зависимости от конструкции балки.

Для балки с защемлённым концом (консоль) граничные условия будут следующие:

Перемещения и угол поворота сечения будут равны нулю в точке защемления при значении расстояния х, равном длине консоли.

Для балки на двух опорах значения перемещений в точках опоры, при значениях расстояний х, соответствующих точкам опоры, равняются нулю.

Таким способом вычисляют значение перемещения, если количество участков в конструкции не больше двух. Недостаток в том, что интегрирование каждого участка даёт две постоянные интегрирования.

Если участков два, то неизвестных постоянных интегрирования будет четыре.

К двум граничным условиям (равенства нулю перемещений или углов поворота в определённых точках и при определённом значении длины), указанным выше, нужно добавить ещё два условия: плавности и непрерывности изогнутой линии балки на границе между участками.

Условие плавности – углы поворота сечений на границе участков равны:

;

Условие непрерывности изогнутой линии – перемещения на границе участков одинаковы:

Решить систему из четырёх уравнений, где будет четыре неизвестные постоянные интегрирования, можно определить максимальное значение перемещения.

Пример 1. Определить максимальное перемещение консольной балки, длинной l, если к свободному концу приложена нагрузка Р.

Решение: Запишем приближённое дифференциальное уравнение изогнутой линии:

,

Проинтегрируем первый раз, получим:

,

Определим значение постоянной интегрирования С из граничных условий – угол поворота в точке опоры при х=l будет равен нулю:

.

Интегрируем второй раз для определения перемещения:

,

Определим значение D из граничных условий – перемещение в точке опоры, при х = l, будет равно нулю:

,

После нахождения постоянных интегрирования, определим максимальное перемещение, которое будет на краю балки, при х=0:

.

Определение перемещений методом начальных параметров.

Метод начальных параметров является более удобным для балок с большим количеством участков. Суть метода начальных параметров заключается в выравнивании констант интегрирования по участкам. В результате неизвестными остаются лишь две из них:

Оставшиеся константы интегрирования имеют простой физический смысл:

Для произвольной балки постоянного по длине сечения, нагруженной k моментами и m сосредоточенными силами ,включая реакции опор, а также n равномерно-распределёнными нагрузками уравнения углов поворота и прогибов записываются одним уравнением сразу для всей балки (для всех участков)

где -координата сечения, где приложена i сосредоточенный момент ;

-координата сечения, где приложена i сосредоточенная сила ;

- координаты начала и конца i равномерно - распределённой нагрузки.

Двойные чёрточки у каждого из слагаемых показывают, при каком условии данное слагаемое включается в вычисления, а именно при определении прогибов и углов поворота в произвольном сечении с координатой – х. В выше приведённых уравнениях удерживаются только те слагаемые, которые учитывают нагрузки, приложенные к балке левее рассматриваемого сечения.

В уравнениях метода начальных параметров принято следующее правило знаков для внешних нагрузок: ,если он направлен почасовойстрелке; > 0 и > 0, если они направлены вверх.

Пример 2. Определить углы поворота сечений в точках А и В, максимальное перемещение балки, расположенной на двух опорах методом начальных параметров. Длина балки l = а + в. На границе участков приложена нагрузка Р.

Для определения опорных реакций составляем уравнения равновесия:

SХ_i= R_вх = 0

Проверка: SУ_i= R_АУ + R_BУ – Р = 0

Для решения применяем метод начальных параметров.

Определяем с помощью граничных условий следующие неизвестные:

Для балки, расположенной на двух опорах, перемещения в точках А и В равны нулю, поэтому два граничных условия имеют следующий вид:

Перемещения в точках А и В равны нулю.

Для определения прогиба начального сечения и угла поворота начального сечения воспользуемся уравнением перемещений и граничными условиями.

Уравнение перемещений для любого сечения:

Используя начальные условия:

Определяем из выше указанного уравнения:

Подставим в уравнение найденное ранее значение ,

учитывая, что l = а + в, после упрощений, получим:

Начальный угол поворота или угол поворота сечения в точке А равен:

Знак « - » означает поворот угла по часовой стрелке.

Определим перемещение в точке С -

Подставим в уравнение значение и получим:

Перемещение в точке С:

Знак « - » означает перемещение вниз.

Определим угол поворота конечного сечения

Для этого воспользуемся формулой для угла поворота метода начальных параметров:

После подстановки значения и упрощений, получим:

Угол поворота сечения точки В равен:

Знак « + » означает поворот угла против часовой стрелки.