Лекция № 5 « Сложное напряжённое состояние. Гипотезы прочности»

Сложным называется напряжённое состояние при котором на трех взаимно-перпендикулярных площадках действуют нормальные и касательные напряжения.

Напряжение, перпендикулярное площадке называется нормальным и вычисляется по формуле:

Напряжение, расположенное на площадке, называется касательным и вычисляется по формуле:

Оказывается при любом сложном напряжённом состоянии тела через каждую его точку можно провести три взаимно-перпендикулярные площадки, где будут отсутствовать касательные напряжения. Только нормальные.

При этом они распределяются следующим образом .

Например: 200 МПа > 150 МПа > 120 МПа.

; ; ,

С учётом знака:

; ;

Площадки, на которых действует только один вид напряжений, называются главными.

В зависимости от количества главных напряжений, приложенных к главным площадкам, различают три вида напряжённого состояния в точке:

1. Все 3 главных напряжения не равны нулю. Такое напряжённое состояние называется объёмным (например, подводная лодка под водой).

2. Если одно из главных напряжений равно нулю. Такое напряжённое состояние называется плоским. Например, вал. В этом случае он испытывает сжатие по двум направлениям, при условии, если шкив не вращается. При вращении шкива появится ещё касательное напряжение, действующее на вал.

3. Одно главное напряжение не равно нулю. Такое напряжённое состояние называется линейным. Простое растяжение или сжатие.

В случае сложного напряжённого состояния необходимо привести все действующие напряжения к линейному состоянию и рассматривать сложное напряжённое состояние как простое линейное растяжение или сжатие.

Сначала определим главные напряжения для плоского напряжённого состояния, избавившись от касательных напряжения:

Для этого вырежем у детали элемент. Напряжения не будут главными, так как действуют ещё и касательные напряжения.

Существуют формулы, позволяющие переходить от не главных напряжений к главным напряжениям:

Получили плоское напряжённое состояние.

Для проверки прочности достаточно сравнить наибольшее главное или модуль главного напряжения (при отрицательном значении) с допускаемым .

Если , значит прочность будет обеспечена

Для хрупких материалов максимальные отрицательные значения сравнивают с допускаемым значением на сжатие, положительные на растяжение. При этом коэффициент запаса прочности п=2.

Рассмотрим вторую обратную задачу:

При известных главных напряжениях нужно найти нормальные и касательные напряжения в любой точке наклонного сечения.

Дано: , напряжения действуют по двум взаимно перпендикулярным направлениям - плоское двухосное напряжённое состояние.

Найти: , нормальное и касательное напряжения, действующие в наклонном сечении.

Рассмотрим отдельно действие

Напряжения в наклонных сечениях от действующего напряжения будут равны:

Рассмотрим действие напряжения , действующее к наклонному сечению под углом

Напряжения в наклонных сечения от действующего напряжения будут равны:

Если сложить все нормальные и касательные напряжения в наклонном сечении, получим полные нормальные и касательные:

Если в формулу для подставить значение , то при любом значении угла , напряжение в наклонном сечении - всегда будет меньше , так как всегда меньше единицы, а в число меньшее единицы в квадрате будет ещё меньше.

Это значит, что из всех напряжений главные самые большие.

Рассмотрим случай действия всех главных напряжений . Объёмное напряженное состояние. Если в направлении действия будет происходить растяжение, то в направлении будет происходить сжатие. Можно привести к обобщённому закону Гука.

или

, если

уменьшают действие .

Аналогично для относительных деформаций можно записать:

Из всех относительных деформаций будет самая большая.

Если будут действовать внутрь, то будет знак « + ».