Примеры расчётов надёжности восстанавливаемых систем.

Пример №1.

Радиостанция включает в себя приемный и передающий блоки, интенсивности отказов которых одинаковы и равны . Стационарно обслуживает одна ремонтная бригада; интенсивность восстановления u=2,2. При неработоспособности любого из блоков радиостанция неработоспособна. При этом работоспособный блок не выключается и в нём могут происходить отказы. Определить коэффициенты готовности K_r и простоя K_П.

Решение.

Перечисляем возможные состояния:

0 - оба блока работоспособны;

1- один блок неработоспособен;

2 – оба блока неработоспособны.

Радиостанция работоспособна только в состоянии “0” и неработоспособна в состояниях 1 и 2. Граф состояний:

Рис. 10.4

Уравнения Колмогорова:

; ;

Полагаем Тогда получим систему алгебраических уравнений, одно из которых можно заменить условием нормировки.

-2λP₀+uP₁=0

2λP₀-(λ+u)P₁+uP₂=0

λP₁-uP₂=0.

Решая эти уравнения, находим: Коэффициент готовности: Kr=P₀. Коэффициент простоя : K_П=P₁+P₂. Подставляя числовые значения, получаем К_П=0.1; Kr=1-К_П=0.99.

Пример №2.

Отличие от примера №1 заключается в том, что при неработоспособности любого блока второй работоспособный блок выключается и в нём не могут происходить отказы.

Решение:

Число возможных состояний равно двум:

0 – оба блока работоспособны;

1- один из блоков не работоспособен (неработоспособное состояние)

Граф переходов:

Рис. 10.5

Уравнения Колмогорова:

; .

Полагаем Тогда получаем уравнения

-2λP₀+uP₁=0

2λP₀-uP₁=0.

Условие нормировки: Заменим этим условием одно из уравнений. В результате получаем: Такой же результат можно получить без составления и решения уравнений, непосредственно по схеме состояний, используя правило, изложенное в 10.1: Если идти в направлении стрелок из крайнего положения 1 в состояние 0, то интенсивность перехода равна u, а интенсивность перехода из крайнего положения 0 в состояние 1 равна 2λ. Таким образом, получаем

Пример №3.

Отличие от примера №2 в том, что помимо работающих имеются приёмный и передающий блок в нагруженном резерве. Переключающее устройство абсолютно надёжно.

Решение: логическая схема надёжности и граф ходов представлен на рис 10.6

Рис. 10.6

Перечисляем состояния:

0- все блоки работоспособны

1- неработоспособен любой блок и работающий с ним в комплексе (последовательно соединённый с неработоспособным на логической схеме) выключен.

2- Неработоспособна вся радиостанция.

Значения коэффициентов простоя и готовности равны: К_П=Р₂; Кr=P₀+P₁.

Для определения P₀, P₁, P₂ воспользуемся выражением (2.9). По схеме состояний вычислим произведение интенсивностей переходов в каждое состояние. При переходе в состояние 0 из состояния 1 и 2 произведение интенсивностей равно u²; в состояние 1 из состояний 0 и 2 равно 4uλ; в состояние 2 из состояний 0 и 1 равно 9 λ². Таким образом При u << λ, получим

Пример №4.

Отличие от примера №3 в том, что приёмный резервный блок находится в ненагруженном резерве. Питающее напряжение на этот блок подаются одновременно с началом его использования для приёма сигналов. Найти Kr и К_П.

Решение. Возможные состояния системы аналогичны рассмотренным в примере №3. Схема состояний (рис 10.7) отличается от схемы примера №3 интенсивного перехода из состояния 0 в состояние 1. Эта интенсивность равна 3λ в силу того, что приёмный блок находится в ненагруженном резерве.

Рис. 10.7

По схеме состояний определяем произведения интенсивностей переходов в направлении стрелок от крайних состояний в каждое состояние. Имеем:

6λ² – из состояния 0 в состояние 2;

2u₂- из состояний 1 и 2 в состояние 0;

3 λ u- из состояний 0 и 2 в состояние 1.

Таким образом, получаем:

При u >> λ, получим

Пример №6.

Отличие от примера N 3 заключатся в том, что применено раздельное резервирование блоков. Логическая схема надёжности имеет вид:

Рис. 10.8

Станция может находится в одном из следующих состояний:

0 - все блоки работоспособны;

1 - неработоспособен любой из блоков

2 - неработоспособен блок станции в одной резервной группе с отказавшем

3 - неработоспособен блок станции из другой резервной группы

4 - Неработоспособна вся станция.

Схема состояний представлена на рис. 10.9

Рис. 10.9

Особенностью схемы состояний является то, что при двух неработоспособных блоках станция может находится либо в работоспособном (3) состоянии, либо в неработоспособном (2) состоянии в зависимости от того, где возник второй отказ. Таким образом, неработоспособными являются состояния 2 и 4, а коэффициент простоя: Вероятность состояний Р₂ и Р₄ определим непосредственно по схеме состояний.

Произведение интенсивностей переходов из крайних состояний 0 и 4 в состояние 2 равно 4λ²u²; из крайних состояний 0 и 2 в состояние 4 - 16λ³u; из крайних состояний 0, 2, 4 в состояние 0 - u⁴; из крайних состояний 0, 2, 4 в состояние 1 – 4λu³ и в состояние 3 - 8λ²u².

При прохождении по одному переходу несколько раз его интенсивность учитывается один из состояний 0 и 4 в состояние 2 переход из состояния 1 в состояние 2 учтён один раз. Получаем:

При u >> λ, получим