Алгоритм восстановления аналитической функции по её действительной или мнимой части.

Поскольку действительная и мнимая части взаимосвязаны условиями Коши-Римана, то достаточно одной её части, чтобы восстановить вторую часть, и далее всю функцию .

Например, нам известна . Тогда = , это криволинейный интеграл 2 рода для векторного поля от фиксированной точки, например (0,0) до произвольной . Нам неизвестны эти частные производные, как и сама функция , однако их можно заменить на известные, по условиям Коши-Римана.

= и далее вычислить.

Итак, алгоритм:

1. Проверить выполнение уравнения Лапласа (иначе или не может быть частью какой-то единой комплексной функции).

2. Вычислить криволинейный интеграл.

3. В полученной функции выразить по формулам: , . При правильном вычислении сократятся все и останется только .

Пример.Дано . Найти мнимую часть и восстановить вид функции .

Сначала проверяем уравнение Лапласа.

, , сумма 2-й производных равна 0, то есть является одной из компонент комплексной функции.

= = , где .

Итак, найдём криволинейный интеграл . Сделаем это с помощью интегрирования по ломаной, как при вычислении потенциала поля. = = .

Далее, в выражение подставим , .

= =

= = = . Итак, .