Понятие о вейвлет-анализе

В последние годы во многих университетах мира ведется или начато преподавание теории вейвлет-анализа. В последние годы было установлено, что в ряде случаев преобразование Фурье не позволяет быстро решить некоторые проблемы. Во-первых, для получения преобразования на одной частоте требуется вся временн′ая информация о сигнале. Это означает, что должно быть известно будущее поведение сигнала. К тому же пик в сигнале во временн′ой области распространяется по всей частотной области его преобразования Фурье. Во-вторых, если исследуемый сигнал не имеет четкого периодического характера и его структура неоднородна во времени, эффективность алгоритма преобразования Фурье в значительной мере снижается, хотя он и остается полностью в силе. В частности не удается сэкономить объем данных за счет перехода от аналитической модели сигнала во временн′ой области к соответствующей модели в частотной области.

При анализе сигналов непостоянного, локального характера, часто выгодно определить корреляцию между временем и спектром сигнала. При исследовании нестационарных сигналов, не имеющих четкого периодического характера, наиболее эффективным было бы использование не тригонометрических, а некоторых локализованных во времени компактных базисов, коэффициенты разложения по которым сохранят информацию об изменении параметров аппроксимируемого сигнала.

Оконные преобразования получались в результате растяжения-сжатия и смещения во времени одной порождающей (называемой скейлинг-функцией—scaling function, scalet) функции – гауссиана (гауссов импульс). Эти базисные функции были названы вейвлетами—(английское слово wavelet – вейвлет—являющееся переводом французского «ondelette», по русски – «маленькая волна», «небольшое колебание», «компактная волна», «небольшие волны, следующие друг за другом») – одинаковые, но разнесенные по времени и имеющие к тому же всевозможные растянутые или сжатые копии.

На базе такого подхода возникло целое направление в теории и технике сигналов, получившее название вейвлет-анализа. В отличие от традиционного преобразования Фурье, вейвлет-анализ имеет базис функций, локализованный и по времени t, и по частоте f . Поэтому сигнал можно анализировать одновременно в физическом (время, координата) и в частотном пространствах. Вейвлет-анализ представляет как бы непрерывнyю цепь локальных преобразований Фурье с различными окнами для каждой частоты. По существу вейвлет-анализ является промежуточным между полностью спектральным и полностью временн′ым представлениями и отражает идею многомасштабного анализа сигналов.

Функции базиса вейвлета принято называть масштабами в вейвлет терминологии, и обычно они обозначаются через ψ(t) или ψ(х). Коэффициенты такого разложения несут важнейшую информацию об эволюции сигнала в частотной и временн′ой областях. Для каждой конкретной практической задачи можно подобрать наиболее эффективный вейвлет. В настоящее время теорию вейвлет-анализа делят на два класса: непрерывный и дискретный. По аналогии с преобразованием Фурье, вейвлет-анализ часто называют непрерывным вейвлет-преобразованием (англ.—continuous wavelet transform – CWT), а дискретный вейвлет-анализ ( англ. – discret wavelet transform—DWT) – ортогональным.