Пересечение поверхностей и тел плоскостями

<3 4 567 8 9 >

Многие изделия (детали) являются геометрическими телами пли сочетанием различных геометрических тел. Для построения на чертежах сечений и разрезов изделий надо научиться строить сечения геометрических тел плоскостями (плоские сечения).

В сечении многогранника плоскостью в общем случае получается многоугольник (Рис.15).

Рис. 15

Линия пересечения поверхности вращения плоскостью строится по точкам. Точки этой линии определяются с помощью вспомогательных секущих плоскостей уровня. В сечении поверхности вращения такой плоскостью получается окружность, а секущая и вспомогательная плоскости пересекаются по прямой линии. Точки пересечения окружности и этой прямой являются искомыми точками линии пересечения.

Линия пересечения поверхностей вращения плоскостью в ряде случаев известна заранее и это облегчает ее построение. Обычно построение начинают с опорных и других характерных точек этой линии. К опорным относятся точки: высшая, низшая, левая, правая, ближняя, дальняя.

Пересечение цилиндрической поверхности вращения плоскостью

(рис. 16) может дать в сечении следующие линии:

а) две прямые (образующие), если секущая плоскость параллельна оси вращения;

б) окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения;

в) эллипс, если секущая плоскость не параллельна и не перпендикулярна оси вращения.

Прямоугольник Окружность Эллипс

Рис.16

Рис. 17

На рис. 17 показаны проекции наклонного сечения цилиндра вращения фронтально-проецирующей плоскостью ∑ и натуральная величина этого сечения — эллипса.

В рассматриваемом примере опорными точками являются концы большой оси эллипса — точки А и В и малой оси эллипса — точки С и D, проекции которых легко строятся на чертеже. На фронтальной плоскости проекций эллипс изображается отрезком А₂В₂, равным натуральной величине большой оси.

На горизонтальной плоскости проекций все точки эллипса располагаются на горизонтальном очерке цилиндра — окружности. На профильной плоскости проекций точки эллипса определяются по горизонтальным линиям проекционной связи и координате у, общей для горизонтальной и профильной проекций.

Натуральная величина эллипса может быть определена способом замены плоскостей проекций. Заменим плоскость П₁ на новую плоскость П₅┴П₂ так, чтобы секущая плоскость ∑ заняла положение плоскости уровня относительно плоскости П₅. Тогда сечение цилиндра (эллипс) спроецируется на плоскость П₅ в натуральную величину. Для этого новую ось проекций x₂₅ проводим параллельно фронтальному следу ∑₂ секущей плоскости на произвольном расстоянии от него и линии связи проводим перпендикулярно оси х₂₅. При построении симметричных линий и фигур целесообразно использовать свойства их симметрии. Для эллипса осями симметрии являются его большая и малая оси. Большую ось эллипса А₅В₅ совмещаем с осью х₂₅. Ординаты «y» концов малой оси С₅ и D₅ и промежуточных точек эллипса 1₅, 2₅, 3₅, и 4₅ замеряем на горизонтальной проекции и откладываем по линиям связи от большой оси по обе ее стороны. Построенный эллипс с осями А₅В₅ и С₅D₅ является натуральной величиной сечения. Штрихами отмечены равные координатные отрезки.

В пересечении боковой поверхности конуса вращения плоскостями

(рис. 18) получаются следующие линии:

а) окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси
вращения;

б) эллипс, если секущая плоскость не перпендикулярна и не
параллельна оси вращения, но пересекает все образующие;

в) парабола, если секущая плоскость параллельна одной образующей;

г) пересекающиеся прямые, если секущая плоскость проходит
через вершину конической поверхности;

д) гипербола, если секущая плоскость параллельна двум образующим и пересекает обе полы конической поверхности.

Рис.18

Линия пересечения двух поверхностей в общем случае есть пространственная кривая, точки которой одновременно принадлежат обеим поверхностям.

Общим способом построения точек линий пересечения поверхностей является способ вспомогательных поверхностей-посредников, в роли которых используются или плоскости отдельного положения, или сферы.

Алгоритм построения и его реализация (Рис19) могут быть следующими:

1. Заданные поверхности, которые пересекаются, перерезаются вспомогательной плоскостью - посредником частного положения: плоскостью Г║П1 Г┴П2

2. Строят по точкам линии пересечения плоскостью - посредником с каждой заданной поверхностью в отдельности. На рис. 25 пл. Г1 пересекает конус по окружности, а цилиндр по прямым.

3. Находят точки пересечения построенных линий. В нашем примере - двух прямых с окружностью. Эти точки принадлежат обеим пересекающимся поверхностям и являются точками линий их пересечения.

4. Операции 1 ... 3 повторяются несколько раз.

5. На полученных точках строят линию пересечения. Определяют её видимые и невидимые, с данного направления, части линий пересечения.