Фиктивные переменные

При наличии качественных переменных имеем неоднородную структуру данных.

а) Построение разных (отдельных) моделей для каждого уровня качественной переменной.

б) Введение в уравнение регрессии качественных переменных. Они называются также фиктивными, номинальными, нечисловыми, структурными, “манекенами” (dummy variabls) и присвоение градациям этих переменных “цифровых меток”.

Возможные подходы при кодировке:

1. Введение булевых (бинарных, дихотомических переменных)

Например: “признак 1” – есть высшее образование;

“признак 2” – нет высшего образования.

Случай нескольких градаций качественного признака. Если качественный признак имеет несколько уровней.

Возможны два подхода:

1.Ввести дискретную переменную, имеющую столько же уровней, сколько признаков.

2.Ввести несколько бинарных переменных.

В примере с образованием (начальное, среднее, высшее): Х_j = (1; 2; 3;)

Однако такие данные трудно содержательно интерпретировать.

Действительно, приписываемые цифровые метки (1; 2; 3;) никак не связаны ни с экспертными оценками, ни с закономерностями исследуемого объекта. Такое кодирование вносит в уравнение регрессии искусственные связи. В частности, качественный признак “образование” может оказаться на порядок более значимым (или менее значимым) по сравнению с другими факторами в зависимости от цифр кода.

Поэтому предпочтительнее способ 2, т.е. введение нескольких бинарных переменных.

Правило: Число бинарных переменных должно быть на 1 меньше, чем число градаций качественного признака.

Поясним это на примере с качественным признаком “образование”. Число градаций 3, значит достаточно ввести две бинарные переменные.

Если образование среднее, то автоматически оно не начальное.

Если начальное, то это отражено парой {Z₁=0; Z₂=0}.

Если ввести третью бинарную переменную

– возникает “логическая ловушка”.

Если сумма значений фиктивный переменных, включенных в регрессию, равна постоянному числу (например: 1) в любой i–ой строке, то качественный признак будет неразличим в уравнение регрессии, т.е. его оценка будет смешана со свободным членом.

Поясним это утверждение.

Пусть качественный признак отражен тремя градациями и, соответственно закодирован тремя бинарными (двоичными) переменными Z₁, Z₂, Z₃.

Тогда их сумма равна:

Z_i = Z₁+ Z₂+ Z₃ Z₃=1

в любой i – ой строке матрицы планирования Х. Возникает функциональная мультиколлинеарность, т.е. мультиколлинеарность состоит в линейной зависимости первого столбца для с вектор – столбцами для , а именно: первый столбец равен сумме столбцов для качественных переменных.

и метод наименьших квадратов неприменим.

Сложные модели с влиянием качественных переменных на параметры :

Замечание 3:Возможны смешанные уравнения регрессии с фиктивными переменными.

( 6.5)

Пример:

- потребление продукта.

Х – доход

Z₁ – сезонность (влияние на свободный член)

Z₂ – уровень доходности домашнего хозяйства влияют на b₁ при Х (склонность к потреблению).