Общий интеграл его есть
.
Уравнение вида
, (6)
в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от и только от , называется уравнением с разделяющимися переменными.
Путем деления обеих частей на произведение они приводятся к уравнениям с разделенными переменными:
или
,
т.е. к уравнению вида (5). Общий интеграл этого уравнения имеет вид
.
Определение 1. Функция называется однородной функцией -го измерения относительно переменных и , если при любом справедливо тождество
.
Пример:
1) ;
- однородная функция первого измерения.
2) ;
- однородная функция третьего измерения.
3) ;
- однородная функция нулевого измерения.
Определение 2.Уравнение первого порядка
(7)
называется однородным уравнением, если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно и .
Метод решения однородного уравнения следующий. По условию . Положим в этом тождестве , получим , т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов.
Уравнение (7) в этом случае примет вид
(8)
Сделаем подстановку , т.е. . Тогда будем иметь
.
Подставляя это выражение производной в уравнение (8) получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными:
, .
Интегрируя, найдем
.
Подставляя после интегрирования вместо отношение , получим интеграл уравнения (8).
Замечание. Уравнение вида будет однородным в том и только в том случае, когда и являются однородными функциями одного и того же измерения. Это вытекает из того, что отношение двух однородных функций – функций одного и того же измерения является однородной функцией нулевого измерения.
Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной вида
, (9)
где и - непрерывные функции от .
Будем искать решение уравнение (9) в виде произведения двух функций от
. (10)
Дифференцируя обе части равенства (10), находим
.
Подставляя полученное значение производной в уравнение (9), имеем
,
или
. (11)
Выберем функцию такой, чтобы
(12)
Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении, находим
, .
Интегрируя, получим
,
или
.
Так как нам достаточно какого-нибудь отличного нуля решения уравнения (12), то за функцию возьмем
. (13)
Очевидно, что .
Подставляя найденное значение в (11) и, учитывая (12), получим
или ; .
Подставляя значения и в формулу (10), получаем
. (14)
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 1462;