Рівняння електричних коливань

Розглянемо тепер електричні коливання, які виникають при наявності в колі генератора ЕРС, яка періодично змінюється.

Коло з активним (омічним) опором. Спочатку розгля­немо частинний випадок, коли генератор змінного струму замк­нений на зовнішнє коло, яке ,'містить лише активний опір (мал. 2.26). Припустимо, що в колі існує змінний струм:

Мал. 2.26.

Застосовуючи закон Ома, визначимо, за яким законом зміню­ється напруга на активному опорі

(2.72)

Мал. 2.27. Мал. 2.28.

Ця рівність показує, що між коливаннями та немає зсуву фаз: напруга і струм одночасно досягають макси­мальних значень і одночасно перетворюються в нуль (мал. 2.27). Наочно це можна зобразити за допомогою векторної діаграми. Величини, які змінюються за гармонічним зако­ном будемо розглядати як вектори, модуль яких дорівнює їхньому амплітудному значенню, а кут між ними - різниці фаз. Вісь діаграми виберемо так, щоб вектор I збігівся з нею за напрямком. Цю вісь називають віссю струмів. Тоді вектор, що зображає коливання напруги, бу­де направлений вздовж осі струмів (мал. 2.28). Довжина цього вектора

Коло з індуктивністю.Розглянемо випадок, коли ді­лянка кола містить лише індук­тивність (мал. 2.29). Тоді за зако­ном електромагнітної індукції Фарадея електрорушійна сила

(ЕРС) індукції визначається швидкістю зміни магнітного потоку тобто У випадку самоіндукції магнітний потік Ф прямо пропорційний силі струму що тече по контуру, тобто де - індуктивність контура.

Мал. 2.29.

Таким чином, при наявності змінного струму в котушці індукуєть­ся ЕРС самоіндукції, величина якої дорівнює Відповідно до закону Ома для повного кола сума всіх ЕРС за відсутності активного опору повинна дорівнювати нулю, тобто

Якщо сила струму в колі змінюється за законом , то для отримуємо:

(2.73)

Порівнюючи відношення для амплітудних значень І_т та U_m із законом Ома, бачимо, що роль опору відіграє величина яку називають індуктивним опором. Також видно, що сила струму та напруга зсунуті за фазою одна відносно іншої (мал. 2.30) на величину причому напруга в будь-який момент часу випереджає силу струму. На векторній діаграмі це зобразиться так, як пока­зано на мал. 2.31.

Мал. 2.30. Мал. 2.31.

Отримані результати дозволяють знайти співвідношен­ня між коливаннями сили струму та напруги в будь-якому колі. Розглянемо спочатку коло, в яке послідовно ввімкнені активний опір R, ємність С та індуктивність L (мал. 2.35). Сила струму в загальному випадку відрізняється за фазою від напруги U і є однаковою для кожного елемента кола:

Оскільки при послідовному з'єднанні додаються напру­ги, то шукану напругу можна подати як суму спадів напруг на окремих ділянках: Для додавання цих трьох гармонічних коливань скористаємося векторною ді­аграмою. Врахуємо, що напруга на омічному опорі синфаз-на з силою струму, напруга на індуктивності випереджає силу струму на а на ємності ж відстає на (мал. 2.36). Додаючи два останні коливання ми отримаємо одне гармонічне коливання, яке зображується вектором пер­пендикулярним до осі струмів; довжина цього вектора Цей спад напруги називається реактив­ною складовою спаду напруги, а відповідний опір ( ) - реактивним опором. Таким чином, повний спад напруги можна розглядати як суму двох гармонічних коливань: активної складової та реактивної які

відрізняються за фазою на Величину можна знайти за теоремою Піфагора (мал. 2.36):

(2.76)

і \

Мал. 2.35. Мал. 2.36.

Для макимального значення повного спаду напруги в контурі закон Ома має вигляд де Z - повний опір кола змінного струму, або імпеданс. Порівнюючи два останніх рівняння, отримуємо вираз для імпедансу Z. При послідовному увімкненні в коло змінного струму активного опору, індуктивності і ємності повний опір кола (імпеданс) дорівнює:

(2.77)

Зсув фаз φ між силою струму і напругою визначається із трикутника напруг (мал. 2.36):

(2.78)

Із (2.77) бачимо, що при реактивний опір дорівнює нулю, а імпенданс Z дорівнює активному опору У цьому випадку Це означає, що сила струму і напруга змінюються в однакових фазах. Цей випадок має назву резонансу напруг. При резонансі напруг частота генератора збігається з власною частотою, тобто задовольняє формулу Томсона.

При паралельному з'єднанні ємності С, індуктивності L та активного опору R імпеданс Z можна знайти із співвідношення

(2.79)

У випадку рівності ємнісного та індуктивного опорів при паралельному сполученні спостерігається резонанс струмів. Опір кола при цьому буде максимальним, а сила струму мінімальною, хоча струми через конденсатор та котушку можуть бути достатньо великими, однак вони вза-ємоврівноважуються.

2.4.4. Імпеданс біологічних тканин