Приложения определенного интеграла в механике

Путь, пройденный телом при неравномерном движении за время , вычисляется по формуле:

. (3.18)

Пример 3.18. Скорость движения материальной точки задана уравнением . Определить ее путь за четвертую секунду.

Решение.

Ответ 83 м.

Пример 3.19. Скорость движения тела задана уравнением м/с. Определить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

Решение Скорость движения тела равна пулю в моменты начала его движения и остановки. Найдем момент остановки тела, для чего приравняем скорость нулю и решим уравнение относительно t:

- пределы интегрирования.

Ответ. S = 32 m.

Работа А, произведенная переменной силой при перемещении тела oт до , вычисляется по формуле:

(3.19),

где - в ньютонах (Н); - в метрах (м); - в джоулях (Дж).

Пример 3.20.Сила в 8Н. растягивает пружину на 6см. Какую работу она производит?

Решение.

Согласно закону Гука , где - величина растяжения, - коэффициент пропорциональности.

Дж.

Ответ: Дж.

Формула вычисления силы давления жидкости на пластинку, погруженную в жидкость:

, (3.20)

где а - глубина, на которой находится самая верхняя точка пластинки; b - глубина, на которой находится самая нижняя ее точка; х - расстояние точек пластинки до уровня жидкости; - плотность жидкости, , - функция, зависящая от формы пластинки;

Пример 3.21. Треугольная пластинка с основанием 0,2 м и высотой 0,4 м погружена вертикально в воду так, что вершина ее лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей (см. рис.). Вычислить силу давления воды па пластинку.

Решение. На глубине х выделим горизонтальную полоску шириной dx. Вычислим площадь полоски . Из подобия треугольника ABC и DEC имеем:

, откуда .

Тогда

Ответ:

Приложение 1. ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ

Вариант	Номера задач	Вариант	Номера задач
	7, 26, 69, 82, 101		1, 35, 55, 76, 110
	14, 29, 54, 89, 104		2, 29, 54, 77, 104
	20, 33, 59, 95, 108		3, 26, 51, 78, 101
	9, 43, 67, 1, 118		4, 30, 56, 79, 105
	12, 37, 65, 87, 112		11, 31, 52, 86, 106
	10, 30, 58, 85, 105		9, 33, 74, 84, 108
	19, 39, 68, 94, 114		7, 34, 53, 82, 109
	11, 34, 60, 86, 109		8, 27, 57, 83, 102
	15, 28, 64, 90, 103		5, 35, 58, 80, 110
	2, 27, 53, 77, 102		23, 48, 73, 98, 123
	4, 41, 52, 79, 116		25, 49, 72, 100, 124
	18, 47, 51, 93, 122		6, 43, 67, 81, 118
	5, 45, 66, 80, 120		10, 47, 71, 85, 122
	21, 49, 62, 96, 124		12, 28, 53, 87, 103
	25, 35, 61, 100, 110		24, 30, 56, 99, 105
	17, 40, 56, 92, 115		22, 32, 57, 97, 107
	8, 50, 63, 83, 125		13, 38, 63, 88, 113
	23, 44, 71, 98, 119		23, 37, 64, 98, 112
	1, 31, 55,76,106		14, 39, 65, 89, 114
	6, 42, 70, 81, 117		22, 41, 66, 97, 116
	3, 46, 74, 78, 121		21, 43, 68, 96, 118
	22, 48, 73, 97, 123		15, 44, 67, 90, 119
	13, 38, 75, 88, 113		20, 42, 69, 95, 117
	24, 36, 72, 99, 111		19, 45, 70, 94, 120
	16, 32, 57, 91, 107		18, 46, 71, 93, 121
	4, 34, 68, 79, 109		7, 48, 69, 82, 123
	2, 39, 58, 77, 114		1, 39, 54, 76, 114
	15, 35, 65, 90, 110		3, 26, 68, 78, 101
	11, 37, 67, 86,112		24, 34, 70, 99, 109
	19, 43, 59, 94, 118		2, 40, 55, 77, 115
	10, 33, 54, 85, 108		21, 31, 51, 96, 106
	7, 43, 65, 82, 118		11, 35, 65, 86, 110
	14, 34,64, 89, 109		17, 44, 59, 92, 119
	1, 38, 72, 76, 113		5, 50, 75, 80, 125
	6, 36, 57, 81, 111		23, 38, 58, 98, 113
	23, 46, 74, 98, 121		12, 28, 53, 87, 103
	16, 29, 75, 91, 104		8, 40, 63, 83, 115
	24, 29, 59, 99, 104		10, 42, 52, 85, 117
	21, 47, 53, 96, 122		6, 39, 53, 81, 114
	18, 28, 60, 93, 103		16, 32, 57, 81, 107
	3, 31, 63, 78, 106		13, 45, 60, 88, 120
	5, 41, 51, 80, 116		14, 26, 56, 89, 101
	8, 44, 70, 83, 119		22, 37, 62, 97, 112
	9, 39, 74, 84, 114		4, 43, 61, 79, 118
	12, 32, 75, 87, 107		18, 37, 56, 93, 112
	1, 26, 51, 76, 101		20, 36, 67, 95, 111
	5, 30, 55, 80, 105		15, 27, 66, 90, 102
	4, 29, 54, 79, 104		9, 50, 71, 84, 125
	8, 33, 63, 83, 108		19, 49, 58, 94, 124
	25, 50, 75, 100, 125		25, 34, 74, 100, 109