Площади плоских фигур и объемы тел вращения

Если непрерывная линия задана уравнением топлощадь криволинейной трапеции, ограниченной этой линией, двумя прямым отрезком оси абсцисс а < х < b, вычисляется по формуле

(3.17)

Пример 3.12. Вычислить площадь, ограниченную графиками функций:

Решение.Построим графики данных функций, найдя предварительно точки их пересечения путем решения системы: .Решив эту систему, получим точки O(0; 0) и A(1; 1).

Формула предполагает вычисление площади, ограниченной графиком функции , осью х и прямыми . В данной задаче, взяв , мы вычислим площадь треугольника ОАВ, а взяв , вычислим площадь криволинейного треугольника Затем из первого результата вычтем второй. Итак,

и

Следовательно, площадь S фигуры, ограниченная заданны­ми линиями

кв.ед.

Пример 3.13.Вычислить площадь, ограниченную линией и осью ординат.

Решение.В этом примере искомая площадь ограничена линией и может быть вычислена с помощью интеграла , где а и b -ординаты точек пересечения данной кривой с осью ординат. Найдем эти ординаты из системы:

Следо­вательно, (кв.ед.).

Пример 3.14.На схеме, в системе коорди­нат Оху, излучина реки образу­ет кривую . По оси проходит шоссе. Найдите коор­динаты пересечения реки и шоссе и вычислите, какую площадь занимает пашня меж­ду рекой и линией шоссе.

Решение.Определим координаты точек пересечения кривой и оси из системы уравнений: (см. рис.).

Пример 3.15.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение.

Если криволинейная трапеция, ограниченная линией и прямыми , вращается вокруг оси х, то объем тела вра­щения вычисляется по формуле: (3.18)

Если фигура, ограниченная линиями и прямыми , вращается вокруг оси Oх, то объем тела вращения вычисляется по формуле: (3.19)

Пример 3.16 Найдите объем шара, полученного при вращении полукруга вокруг оси Ох.

Решение. По формуле (3.18) имеем:

Пример 3.17. Найдите объем тел, образованных вращением вокруг оси Ох фи­гур, ограниченных линиями:

Решение. Определим координаты точки пересечения этих линий из системы: Таким образом, имеем две точки пересечения линий: . По формуле (3.19) имеем: