Закон Гука для анізотропних тіл

Закон Гука встановлює зв'язок між пружними напруженнями s, діючими на тіло, і деформаціями e, викликаними цими напруженнями. Для одноосного розтягу або стиску ізотропного тіла, на яке діє тільки одна сила, закон Гука записується у вигляді

. (1.1)

Коефіцієнт пропорційності Е називають модулем пружності при одноосному розтягуванні або модулем нормальної пружності, або модулем Юнга. Це константа ізотропного матеріалу, що характеризує його жорсткість.

При одноосному розтягу матеріалу разом із збільшенням його довжини у напрямі дії сили (наприклад, по осі х) зменшуються поперечні розміри уздовж двох інших осей (у і z). Відношення відносних деформацій зразка в поперечному і подовжньому напрямах називається коефіцієнтом Пуассона v:

. (1.2)

По аналогії з розтягом зв'язок між дотичними напруженнями t і відповідними пружними деформаціями зсуву g можна записати співвідношенням

, (1.3)

де G – модуль пружності при зсуві (модуль зсуву).

При гідростатичному стиску ізотропних тіл закон Гука встановлює пряму пропорційність між гідростатичним тиском р і зміною об'єму :

(1.4)

де К – модуль об'ємної деформації.

Справедливий закон Гука тільки при порівняно малих величинах напружень і деформацій, коли ще немає необоротних пластичних деформацій і матеріал поводиться як абсолютно пружне тіло.

Співвідношення (1.1) і (1.3) характеризують, зв'язок між напруженням і деформацією в одному і тому ж напрямі. Але до тіла одночасно можуть бути прикладені напруження в двох або трьох взаємно перпендикулярних напрямах. В результаті мають справу відповідно з плоским і з об'ємним напруженими станами матеріалу.

Проте навіть під дією одноосного розтягу або стиску тіло деформується в трьох взаємно перпендикулярних напрямах х, у і z, тобто одноосний (лінійний) напружений стан приводить до виникнення тривісного, або об'ємного, деформованого стану. Можлива і така комбінація сил, при якій тіло буде знаходитися в плоскому або одноосному деформованому стані.

В загальному випадку зв'язок між напруженнями і деформаціями для ізотропного тіла встановлює узагальнений закон Гука, який в позначеннях, використовуваних в техніці (технічних позначеннях), має наступний вигляд:

(1.5)

Тут s_х, s_у, s_z – нормальні напруження в трьох взаємно перпендикулярних напрямах х, у і z;

e_х, e_у, e_z – відносні деформації у напрямі відповідних осей координат (осьові деформації);

t_ху, t_уz, t_xz – дотичні напруження;

g_ху, g_уz, g_xz – кутові (зсувові) деформації.

Пружні константи E, G, v і K зв'язані між собою співвідношеннями

(1.6)

Тільки дві з чотирьох констант незалежні; дві інші можна обчислити із співвідношення (1.6) по цих двох відомих. Іншими словами, щоб отримати повну інформацію про співвідношення між напруженим і деформованим станами пружного ізотропного тіла, достатньо знати його пружні константи.

Для анізотропних тіл закон Гука встановлює пропорційність між кожним компонентом тензора деформацій і всіма шістьма компонентами тензора напружень (тензором називають сукупність математичних величин, що перетворюється при повороті осей координат по певних лінійних законах і які володіють рядом властивостей, загальних для цих величин).

Напружений стан в будь-якій точці навантаженого тіла характеризується дев'ятьма величинами, які утворюють тензор напружень, який записують у вигляді

. (1.7)

Тут три компоненти (s_х, s_у, s_z) позначають нормальні напруження, інші шість – дотичні. Часто нормальні і дотичні напруження позначають однією буквою s_ik і розрізняють їх по індексах: компоненти з двома однаковими індексами (s₁₁, s₂₂, s₃₃) відповідають нормальним, а з різними індексами – дотичним напруженням. В цьому випадку говорять, що тензор напружень записаний в нумерованих осях 1; 2; 3:

. (1.8)

З дев'яти компонентів тензора напружень тільки шість незалежні; компоненти, симетричні щодо головної діагоналі тензора s₁₁ – s₃₃, рівні між собою, тобто s₁₂=s₂₁; s₁₃=s₃₁; s₂₃=s₃₂.

Деформований стан в точці описується за допомогою тензора деформацій, який в технічних позначеннях має вигляд

(1.9)

а в нумерованих осях записується таким чином:

. (1.10)

У виразі (1.9) компоненти e_x, e_y і e_z – лінійні, а інші шість компонентів – описують деформації зсуву. При цьому

; ; . (1.11)

В рівнянні (1.10) відповідно

; ; . (1.12)

В літературі використовують три форми запису закону Гука для анізотропних середовищ – тензорну, матричну і технічну.

В скороченій тензорній формі закон Гука можна представити так:

. (1.13)

Тут індекси i, k, l, m приймають послідовно значення 1; 2 і 3; e_ik, позначає відносну лінійну деформацію при i=k і кутову при i¹k (e₁₁, e₂₂, і e₃₃ – лінійні деформації, відповідні деформаціям e_х, e_y і e_z уздовж осей х, y і z; e₁₂=e₂₁; e₁₃=e₃₁; e₂₃=e₃₂ – кутові деформації, відповідні деформаціям 1/2 g_ху, 1/2 g_хz і 1/2 g_уz); s_lm – нормальні напруження при l=m і дотичні при l¹m (наприклад, при l=1, m=1 s₁₁ позначає нормальне напруження, діюче уздовж осі x, при l=2, m=2 s₂₂, позначає те ж у напрямі осі y; при l=1, m=2 s₁₂ позначає дотичне напруження, відповідне t_ху); c_iklm – коефіцієнти пружності анізотропного тіла, створюючі тензор четвертого рангу.

Запис (1.13) припускає, що для отримання значень e_ik. слід підсумувати добутки с_iklm s_lm по індексах, що зустрічаються двічі, тобто по індексах l і m. Знак підсумовування при цьому опускається. Запис (1.13) відповідає наступному запису з використанням знаків підсумовування:

. (1.14)

Якщо хочуть детально розписати вираз для відносного подовження у напрямі осі х, приймають і=k=1. Тоді

.

Вираз для кутової деформації в площині ху виходить з рівняння (1.13), якщо покласти і=1, k=2:

.

Тензорний запис (1.13) вимагає для обчислення всіх деформацій знати 81 коефіцієнт с_iklm. Але насправді, як доводить теорія пружності, з 81 коефіцієнта незалежними і відмінними від нуля можуть бути тільки 21. Так, щоб визначити всі компоненти тензора деформацій, в загальному випадку анізотропного тіла потрібно знати 21 коефіцієнт пружності.

Вираз (1.13) встановлює залежність пружних деформацій e_ik від напружень s_lm. Справедливо і зворотне співвідношення, записане в тензорній формі:

, (1.15)

яке встановлює залежність напружень від деформацій. Правила підсумовування тут такі ж, як і у формулі (1.13).

Тензорний запис зручний для обчислення пружних коефіцієнтів анізотропних матеріалів в напрямах, не співпадаючих з головними осями симетрії, оскільки такий запис дозволяє використовувати правила тензорного числення при повороті координатних осей. Його доцільно застосовувати, коли розглядається плоский або об'ємний напружений стан анізотропного тіла з низькою симетрією.

В загальному випадку анізотропного матеріалу пружні сталі, які створюють тензор четвертого рангу, для довільно орієнтованих напрямів можна розрахувати відповідно до правил перетворення тензорних величин при повороті осей координат по наступній формулі:

. (1.16)

Тут буквами C з двома індексами позначені направляючі косинуси кутів між новою і старою системами прямокутних координат (табл. 1.1). Перший індекс відповідає номеру нової осі, а другий – номеру старої. Першою вважається вісь х, другою – у і третьою – z. Наприклад, С₁₁ – це косинус кута між новою віссю х' і старою х, С₁₂ – між новою віссю х' і старою y. С₃₂ – між новою віссю z' і старою y і т.п. Кути між позитивними напрямами осей можуть змінюватися від 0 до 180°, тому кожне значення C однозначно визначає кут.

Таблиця 1.1 Направляючі косинуси

Формула (1.16) – скорочений тензорний запис. Вона припускає підсумовування по всіх індексах, що двічі зустрічаються в правій частині. Індекси послідовно пробігають значення 1; 2 і 3.

Разом з тензорним записом закону Гуrа застосовується матрична форма запису:

(1.17)

і

. (1.18)

Від тензорного запису можна перейти до матричного, якщо два індекси об'єднати в один, пробігаючий значення 1, ...., 6. Схема заміни індексів наступна:

тензорні позначення – 11 22 33 23;32 31;13 12;21

матричні позначення – 1 2 3 4 5 6.

Матричний запис (1.18), наприклад, детально можна розписати так:

(1.19)

При заміні тензорних позначень на матричні коефіцієнти a_iklm переходять в a_mn s_ik – s_m; перехід від e_ik до e_m виконується за правилом

, якщо m=1; 2 або 3;

, якщо m=4; 5 або 6;

при переході від с_iklm до с_mn вводяться наступні множники:

, якщо m і n рівні 1; 2 або 3;

, якщо m або n рівно 4; 5 або 6;

, якщо m і n рівні 4; 5 або 6.

З 36 коефіцієнтів, що входять в запис (1.19), коефіцієнти с_mn=с_nm, і фактично достатньо 21 коефіцієнта для отримання повної інформації про поведінку анізотропною тіла в межах пружності.

Технічна форма запису закону Гука використовує технічні постійні пружності – модулі Юнга, зсуву, об'ємного стиснення і коефіцієнти Пуассона. Звичайно її застосовують, описуючи пружну поведінку анізотропних тіл з достатньо високою симетрією.

Наприклад, для ортотропного матеріалу закон Гука в технічних позначеннях можна записати так:

(1.20)

Тут і надалі прийняті наступні позначення:

Е – модулі нормальної пружності при розтягуванні або стисненні у напрямі осі, вказаної в індексі;

G – модулі зсуву при дії дотичних напружень по площинах, вказаних в індексах;

v – коефіцієнти поперечної деформації (коефіцієнти Пуассона) у напрямі першої з осей, вказаних в індексі, при дії нормальних напружень у напрямі другої осі.

З 12 пружних коефіцієнтів, що входять у вирази (1.20), 9 незалежні. Зазвичай в якості незалежних констант приймають 3 модулі пружності – Е_х, Е_y, Е_z, 3 модулі зсуву – G_xy, G_xz і G_yz і 3 коефіцієнти Пуассона – v_xy, v_yz, v_zx. Решта 3 коефіцієнта Пуассона розраховують із співвідношень

; ; . (1.21)

Пружні постійні c_iklm ортотропного тіла пов'язані з технічними модулями пружності такими співвідношеннями:

; ; ;

; ; ;

; ; ;

Для анізотропних матеріалів з більш високою симетрією кількість незалежних пружних констант зменшується. Наприклад, в трансверсально ізотропних тілах напряму х і y рівноцінні, тому для таких тіл справедливі рівності

(1.22)

і незалежними залишаються тільки 5 пружних констант – Е_х, Е_z, G_xz, v_xz, v_xy. Якщо на матеріал діють тільки два взаємно перпендикулярних напруження s_х і s_y, а s_z=0, то ортотропне тіло можна охарактеризувати чотирма постійними: Е_х, Е_у, G_ху і v_xy.