Переходные процессы и автоколебания релейной системы

Рассмотрим систему с релейной характеристикой об­щего вида. Уравнение динамики объекта (рис. 2.1) имеет вид

(2.1)

а уравнение регулятора

(2.2)

где F(х) — релейная характеристика (рис. 1.11). Общее уравнение динамики системы найдем, если продифферен­цируем уравнение (2.1)

Рис. 2.1. Система с релейной

характеристикой об­щего вида

и затем подставим в него (2.2). В результате получим выражение

,

которое можно представить в виде

(2.3)

Отсюда получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий

(2.4)

Как видно из заданной характеристики (рис. 2.1,б), нелинейную функцию F(х) можно описать следующим образом:

если , то

при

0 при

при

если , то

при

0 при

при

В связи с этим на фазовой плоскости (х, у) можно вы­делить три области: 1) ; 2) ; 3) . Эти три области разделены прямыми (на рис. 2.2 они показаны штриховыми линиями), которые называются линиями переключения.

Такую фазовую плоскость называют многолистной. На каждом листе (1, 2, 3) получится свой вид фазовых траекторий. По линиям переключения эти листы «сшива­ются». Фазовые траектории непрерывно переходят с од­ного листа на другой (за исключением некоторых особых случаев, где они встречаются).

В области 1 ( ) уравнение (2.4) принимает вид

Проинтегрировав его, получим уравнение фазовых траекторий в области 1:

(2.5)

Фазовые траектории заканчиваются фазовой траекторией, уравнение которой: . Такие фазовые траектории изображены в области 1 на рис. 2.2. Направление их определяется в соответствии с рассмотренным выше правилом (рис. 1.9).

В области 2 ( )уравнение (2.4) примет вид

Фазовые траектории — прямолинейные отрезки (см. об­ласть 2на рис. 2.2).

Рис.2.2. Фазовые траектории

Наконец, в области 3 ( )уравнение (2.4) примет вид

откуда, аналогично (2.5), уравнение фазовых траекто­рий будет

(2.6)

Фазовые траектории в области 3 заканчиваются фазовой траекториейуравнение которой: .

В целом фазовые траектории принимают спиралевид­ную форму. Это соответствует затухающим колебательным процессам. Однако колебательный процесс за­тухает не до нуля, а до некоторого произвольно­го значения (рис. 2.2, 2.3)

в интервале , , т. е. внутри зоны нечувстви­тельности реле (рис. 1.11). Таким образом, вместо особой точки здесь получается особый отрезок равновесных состояний,показан­ный утолщенной линией на рис. 2.2.

Рис.2.3. Затухающий

колебательный процесс

По какой из фазо­вых траекторий пойдет переходный процесс в системе, определяется начальными условиями , .

Рассмотрим теперь частные случаи.

В случае релейной характеристики с зоной нечувст­вительности без петель (рис. 1.3)картина фазовых траекторий будет аналогична изображенной на рис. 2.2, с той разницей, что теперь ,т. е. линии пере­ключения будут прямыми без излома на оси х: .

В случае чисто петлевой гистерезисной релейной ха­рактеристики(рис. 1.10)будет отсутствовать область 2(рис. 2.2). В этом случае имеем

при

при

когда

при

при

когда

Этим определяются линии переключения (штриховые линии на рис. 2.4). Слева от них строим фазовые траектории по уравне­нию (2.5), а справа — по уравне­нию (2.6). Это и показа­но на рис. 2.4. Поскольку ясно видно, что снаружи фазовые траектории обра­зуют сходящиеся спира­ли, а изнутри расходя­щиеся, то где-то среди них должен быть предельный цикл, к которому они все сходятся. Он выделен утолщенной замкнутой линией (рис. 2.4). Это устойчивый предельный цикл, отвечающий автоко­лебаниям. Амплитуда их определяется точкой пересечения предельного цикла с осью х. Физически такое решение оправдано, ибо в соответствии с нелинейной ха­рактеристикой (рис. 1.10) реле не имеет равновесного состояния. Автоколебания происходят около петли реле с амплитудой, несколько превышающей половину ширины петли b.

Установившийся режим работы такой системы авто­матического регулирования является автоколебательным. Так работают, например, вибрационные регуляторы напряжения сети постоянного тока.

Рис.2.4. Устойчивый предельный цикл

Параметры системы должны быть выбраны так, чтобы амплитуда и частота автоколебаний находились в допустимых пределах.