Особые точки и фазовые портреты нелинейных систем
Рассмотрим фазовые траектории нелинейной системы второго порядка
(1.35)
Особые точки, отвечающие равновесным состояниям системы, определяются из условия
(1.36)
Для выявления типа каждой особой точки уравнения (1.16) линеаризуются при малых отклонениях координат в окрестности особой точки. Затем определяются корни характеристического уравнения линеаризованной системы, по которым, согласно раздела 1.3, и устанавливается тип особой точки.
Проведем рассмотрение этого вопроса на примере. Пусть заданы уравнения нелинейной системы
(1.37)
Уравнение фазовых траекторий имеет вид
(1.38)
Найдем особые точки согласно условиям (1.36)
откуда получаем три решения:
1) , ; 2) , ; 3) , .
Следовательно, система имеет три возможных равновесных состояния.
Исследуем характер особых точек.
1. В окрестности точки , линеаризованные уравнения (1.37) имеют вид
Характеристическое уравнение:
Корни — чисто мнимые. Следовательно, это особая точка типа «центр».
2. В окрестности точки , вводим малые отклонения в координатах , . Подставляя в уравнения (1.37) , и отбрасывая нелинейные члены, получим систему
(1.39)
Характеристическое уравнение имеет вид
Корни характеристического уравнения
вещественны и имеют разные знаки. Следовательно, это особая точка типа «седло».
3, Рассматривая систему в окрестности точки , , подстановкой в уравнение (1.37) приходим к тому же уравнению, что и в предыдущем случае. Следовательно, здесь тоже особая точка типа «седло».
Найдем асимптоты фазовых траекторий в седловых точках.
Положив , из уравнения фазовых траекторий
(1.40)
Рис.1.41. Асимптоты фазовых
траекторий в седловых точках
получим
или
откуда находим
;
На рис. 1.41 эти асимптоты показаны в окрестностях соответствующих особых точек. Точка же (0, 0) типа «центр» должна быть окружена замкнутыми кривыми. Исходя из этого, на рис. 1.42 изображен примерный ход фазовых траекторий на всей плоскости.
Для определения направления движения изображающей точки по фазовым траекториям достаточно исследовать какую-либо одну точку. Возьмем, например, точку , .
Рис.1.42. Сепаратриса
Согласно уравнениям (1.37) в этой точке имеем , , т. е. х изменяется в сторону уменьшения, а у — в сторону увеличения. В соответствии с этим и поставлена стрелка на фазовой траектории, проходящей через точку (0, 1), а так как система непрерывна, в ту же сторону будут направлены и все соседние фазовые траектории.
Таким образом, выясняется качественная картина фазовых траекторий. Отметим, что в данном примере ни одно из трех возможных равновесных состояний системы не является устойчивым.
Методом изоклин можно уточнить очертания фазовых траекторий, Уравнение изоклины, согласно (1.38), имеет вид
(1.41)
где с — крутизна наклона ( )пересекающих изоклину фазовых траекторий. Например, значению , т. е. углу наклона траекторий, равному 45°, соответствует, согласно (1.41), изоклина, описываемая уравнением
.
Она проходит через все три особые точки (штриховая линия на рис. 1.42). В отличие от линейных систем, здесь изоклина криволинейная.
Отметим теперь некоторые общие особенности процессов в нелинейных системах.
Прежде всего, это возможность наличия двух или нескольких равновесных состояний(особых точек), как уже было видно на приведенном примере. В соответствии с этим на фазовой плоскости получаются области с различными типами фазовых траекторий. На рис. 1.25, например, эти области разделены жирно обозначенными кривыми. Такие особыекривые, разделяющие области с разными типами фазовых траекторий, называются сепаратрисами.
Существуют и другого типа особые кривые. Важным типом особых кривых являются предельные циклы — замкнутые кривые, соответствующие периодическим процессам, в окрестности которых имеют место колебательные переходные процессы.
а) б) в)
Рис.1.43. Предельные циклы
Если эти фазовые траектории изнутри и снаружи сходятся к данному предельному циклу (рис. 1. 43, а),то мы имеем устойчивый предельный цикл.Если же они удаляются в обе стороны (рис. 1. 43, б),— неустойчивый предельный цикл.Возможен и случай двух предельных циклов (рис. 1. 43, в), из которых один устойчивый (в данном случае внешний), а второй неустойчивый.
Особая точка 0 на рис. 1.43 представляет собой в первом случае неустойчивое равновесное состояние, а во втором и третьем — устойчивое. Картина процессов во времени, соответствующая рис. 1.43,а, б, изображена на рис. 1. 44, а, б.
а) б)
Рис.1. 44. Картина процессов во времени
Устойчивый периодический процесс, отвечающего предельному циклу— автоколебания системы.Это собственные периодические колебания, происходящие при отсутствии внешнего периодического воздействия, причем амплитуда и частота автоколебаний не зависит от начальных условий, а определяется внутренними свойствами системы. Автоколебания могут возникать только в нелинейных системах, Что же касается линейных систем, то в них собственные периодические колебания возможны только на границе устойчивости , причем амплитуда их определяется начальными условиями.
Как видно на рис. 1. 43,б, неустойчивый предельный цикл — это границаобластей начальных условий. При начальных условиях , ,лежащих внутри неустойчивого предельного цикла, получается затухающий переходный процесс, если же они лежат снаружи—расходящийся. Следовательно, равновесное состояние 0в данном случае устойчиво при небольших начальных отклонениях, а при больших — система неустойчива. Говорят: система устойчива «в малом» и неустойчива «в большом».
В отличие от линейных систем, типы динамических процессов нелинейных систем могут существенно зависеть от начальных условий.
В первом случае (рис. 1.43, а) единственным устойчивым установившимся состоянием системы является автоколебательный режим. Во втором случае (рис. 1.43, б) - равновесное состояние в точке 0. В третьем же случае система имеет два устойчивых установившихся состояния (рис. 1.43,в): равновесное 0,и автоколебания с большой амплитудой (внешний предельный цикл). Какой из них установится, зависит от начальных условий.
В первом случае говорят, что имеет место «мягкое возбуждение» автоколебаний (т. с. при любых начальных условиях), а в третьем случае—« жесткое возбуждение » автоколебаний, так как, чтобы система вышла на них, необходимо начальные условия «выбросить» за пределы внутреннего неустойчивого предельного цикла.
1.8. Контрольные вопросы к главе 1
1. Какие системы называются нелинейными?
2. В чем отличительные особенности нелинейных систем?
3. В чем заключается метод фазового пространства?
4. В чем заключается правило движения по фазовым траекториям?
5. Какие точки называются особыми?
6. При каких корнях характеристического уравнения получается особая точка типа «седло»?
7. Какая линия называется изоклиной?
8. Может ли нелинейная система иметь несколько особых точек?
9. Какая кривая называется сепаратрисой?
10.Какие особые кривые называются предельными циклами?
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 773;