Преобразования нелинейных статических характеристик

Виды и особенности нелинейных систем

Виды нелинейностей

Нелинейные функции могут быть непрерывными и ку­сочно-ломаными. Также нелинейные характеристики мо­гут быть однозначные, неоднозначные, симметричные и не­симметричные.

Рассмотрим некоторые виды нелинейных характеристик.

Первый вид нелинейных характеристик называется зо­ной нечувствительности первого рода. Вид такой нелиней­ной характеристики и схема простейшей механической модели, поясняющей явление зоны нечувствительности(сухое трение), по­казаны на рис.1.1 и рис.1.2.

Рис.1.1. Зо­на Рис.1.2.Механическая

нечувствительности модель зо­ны

первого рода нечувствительности

первого рода

В рассматриваемом случае входной ве­личиной является угол поворота ведущего вала, а выход­ной — угол поворота ведомого вала. Пружина всегда стремится вернуть вал в исходное положение, которое удобно выбрать за начало отсчета выходной величины. Ведомый и ведущий валы сцеплены вилкой. Входящий в нее палец имеет диаметр d несколько меньший, чем ширина вилки l; вследствие этого имеется зазор и, пока он не «выбран», ведомый вал не следует за ведущим. За на­чальное положение ведущего вала удобно принять (при раз­груженной пружине) среднее положение его пальца в вил­ке. Аналитически эта функция записывается как

при

при

при

Второй вид нелинейных характеристик называется зо­ной нечувствительности вто­рого рода (рис.1.3).

Рис.1.3. Зо­на нечувствительности Рис.1.4.Механическая

второго рода модель зо­ны

нечувствительности

второго рода

Приме­ром физической модели (рис.1.4) этого вида нелинейных функций может быть зависимость угло­вой скорости вращения вала редуктора электрического сер­вопривода от положения по­движного контакта, включаю­щего электрический ток в об­мотки электродвигателя. Эта нелинейная функция также является однозначной. Аналитически рассмотренную функцию можно записать в следующем виде:

при

при

при

Третьим видом нелинейных характеристик являются нелинейные функции с ограниченной ампли­тудой выходной величины (рис.1.5).

Если амплитуда вы­ходной величины не выходит за пределы нелинейного участ­ка этой функции, элемент ведет себя как обычное линей­ное усилительное звено.

Рис.1.5. Характеристика Рис.1.6. Характеристика с

с ограниченной зоной нечувствительности

ампли­тудой

В случае возбуждения на входе элемента гармонических колебаний с большой амплиту­дой выходные колебания перестают быть гармоническими. Искажения эти тем существеннее, чем больше амплитуда входных колебаний. При наличии зоны нечувствительности нелинейность имеет вид, показанный на рис.1.6.

Четвертый вид нелинейных характеристик вызывается наличием люфта или сухого трения в элементе. Вид такой нелинейной характеристики и простейшая механическая модель, поясняющая явление люфта и сухого трения, пока­заны на рис.1.7 и рис.1.8.

Рис.1.7. Характеристика Рис.1.8. Механическая

элемента с сухим трением модель элемента

Модель, изображенная на рис.1.9, отличается от модели, показанной на рис.1.8, только от­сутствием фиксирующей пружины на ведомом валу. Эта на первый взгляд второстепенная конструктивная деталь существенно изменяет характер нелинейности. При измене­нии направления движения ведущего вала всегда (т. е. в любом положении обоих валов) происходит нарушение сцепления между валами, и движение ведомого вала в но­вом направлении начинается всякий раз только после пе­ремещения на величину всего зазора в соединительной вилке. Аналитически такая нелинейная функция может быть записана следующим образом (за положительное направление вращения принято вращение вправо):

при

при

при

Нелинейности такого вида порождаются не только мерт­выми ходами и зазорами в механических системах, но и, в частности, силами сухого трения между движущимися элементами механизмов. На рис.10 показана механиче­ская система, в которой зона застоя обусловлена силами сухого трения.

Рис.1.9. Зона застоя

обусловленная

силами сухого трения

Ведомый и ведущий валы связаны пружиной. Выходной вал зажат между тормоз­ными колодками. Входной величиной является угол пово­рота ведущего вала, выходной — угол поворота ведомого вала. При вращении ведущего вала движение ведомого ва­ла начинается только после того, как момент упругих сил закручиваемой пружины станет больше момента сил трения. Изменение направления движения ведомого вала, очевид­но, может произойти только в том случае, если ведущий вал закрутит пружину в противоположную (совершающе­муся движению) сторону на ту же величину. Ширина зоны застоя, таким образом, равна удвоенному значению момента сил трения, деленному на коэффициент упругости пружины (момент, развиваемый пружиной при закручивании ее на угол, равен единице).

Пятым видом нелинейных характеристик является ре­лейная нелинейная характеристика с петлей возврата (рис.1.10).

Рис.1.10. Ре­лейная

гистерезис характеристика

с петлей возврата

Аналитическое выражение этой нелинейной функции для более общего случая, когда последняя рас­полагается в верхней полуплоскости относительно оси, имеет следующий вид:

при

при при

при

при при

где b — значение входной величины, при котором про­исходит включение релейного элемента;

— b — значение этой же величины, при котором про­исходит отключение релейного элемента;

c — величина напряжения на контактах реле.

Подобный вид имеют статические характеристики реле. Наличие зоны возврата, т. е. разных значений тока трогания и тока опускания реле, объясняется рядом причин (креплением контактов реле на эластичных пружинах, раз­личием в электрических характеристиках реле при разных положениях его якоря и т. д.).

Шестой вид нелинейных характеристик называется зо­ной нечувствительности второго рода с петлей возврата (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Зо­на нечувствительности

второго рода с петлей возврата

Нелинейную функцию, характеризующую этот вид, в аналитической форме можно представить таким образом:

при

при при

при

при

при при

при

где b₁ — абсолютное значение входной величины, при котором происходит включение реле в ту или иную сторону;

b₂ — абсолютное значение входной величины, при ко­тором происходит выключение релейного эле­мента;

c — амплитуда колебаний выходной величины (на­пример, напряжение на контактах реле).

Подобные характеристики имеет, например, трехпозиционное поляризованное реле при симметричной на­стройке.

Кроме рассмотренных нелинейных характеристик, ниже приведены нелинейные характеристики: непрерывная (рис.1.12), идеальная релейная (рис.1.13), состоящая из от­дельных отрезков прямых линий (рис.1.14):

Рис. 1.12. Непрерывная

характеристика

Рис. 1.13. Релейная Рис. 1.14. Характеристика

характеристика состоящая из от­дельных

отрезков прямых линий

Можно различать статические и динамические нели­нейности.

Статические нелинейности – это нелинейности статических характеристик(например, сухое трение (рис.1.7) зона нечувствительности (рис.1.1 рис.1.3 рис.1.6) , люфт (рис.1.7), гистерезис (рис.1.15), насыщение (рис.1.5), опережающая(рис.1.16), различные нелинейные функции).

Рис.1.15. Гистерезисная Рис. 1.16. Опережающая характеристика характеристика

Динамические нелинейности — это нелинейности, связанные с дифференциальными уравнениями динами­кизвена. К ним относится, например, нелинейное трение.

Так, нелинейная сила вязкого трения характеризуется выражением

Сила сухого трения в простейшем случае (имеются и более сложные зависимости) описывается соотношением

при

Звено с изменяющейся постоянной времени имеет вид

Здесь надо отметить особенность такой динамической нелинейности по сравнению с линейным звеном с переменным параметром вида

В системе с переменными параметрами фигурирует зави­симость коэффициентов от времени,в то время как нели­нейность характеризует их зависимость от координат(или производных). Точно так же, например, гистерезис, (рис. 1.15) представляет собой нелинейное (координатное) запаздывание, в отличие от временного или инерционного в линейных системах. Аналогично на рис. 1.16 представле­но нелинейное (координатное) опережение. Конечно, могут быть нелинейные звенья с перемен­ным параметром, например вида

а также нелинейные запаздывающие звенья типа

Примерами динамических нелинейностей могут слу­жить также любые нелинейные дифференциальные, раз­ностные и интегральные уравнения.

Нелинейности в системах управления и регулирования могут быть естественно присущимиреальной системе (трение, люфт, гистерезис, зона нечувствительности, насы­щение) и зачастую вредными: влияние их в этом случае надо стремиться уменьшить. Но могут быть и специально вводимыенелинейности для придания системе желаемых свойств. Таковы, например, релейные элементы и различ­ные нелинейные и псевдолинейные корректирующие устройства. Большой интерес представляют также логи­ческие нелинейные управляющие блоки и системы с пе­ременной структурой, о которых речь будет в последую­щих главах. Оптимизация систем автоматического управления также в большинстве случаев связана с введением специальных нелинейностей в контур системы.

Введение специальных нелинейностей приводит к различным нелинейным законам управления, которые обладают более богатыми возможностями по сравнению с линейными.

Преобразования нелинейных статических характеристик

Поскольку нелинейности в системах чаще всего учи­тываются в виде статических характеристик, то целесо­образно рассмотреть методы их преобразования. Такие преобразования обычно выполняют с целью объединения смежных нелинейных звеньев для упрощения проводи­мых исследований. Смежные звенья с нелинейными ста­тическими характеристиками могут встречаться в схе­мах в виде последовательного соединения, согласно-па­раллельного соединения и встречно-параллельного сое­динения или обратной связи (рис.1.17).

При последовательном соеди­нении двух звеньев с нелинейны­ми статическими характеристи­ками (рис. 1.17,а) для резуль­тирующей характеристики можно записать

(1.1)

Это означает, что результирую­щая характеристика может быть получена как нелинейная функ­ция от выражения, стоящего в квадратных скобках, которое само является нелинейной функ­цией:

(1.2)

а) б) в)

Рис. 1.17. Смежные звенья с нелинейными

ста­тическими характеристиками

Предположим, что первое звено имеет нелинейную статическую характеристику

а второе звено — статическую характеристику

Тогда результирующая характеристика будет

Если последовательно соединенные нелинейности за­даны графически, то результирующая характеристика легко определяется графическим способом.

В качестве примера рассмотрим графическое построе­ние результирующей характеристики двух последовательно соединенных звеньев с нелинейными статиче­скими характеристиками и (рис. 1.18).

Ветвь первой характеристики строим, как обычно, в первом квадранте, а ветвь второй характеристики — во втором квадранте, принимая за ось абсцисс ось ординат первой характеристики. Ин­тервал графического реше­ния для переменной x₁ выбираем таким, чтобы n ди­скретных значений перемен­ных с достаточной точностью определяли исходные и иско­мую статические характе­ристики. Затем для каждого дискретного значения x_1i на­ходим точки ветви резуль­тирующей характеристики .

Рис.1.18. Графическое

решение для некоторого

значения

На рис. 1.18 показан по­рядок графического решения для некоторого значения . Из точки соответствующей восстанавливаем перпендикуляр и определяем значе­ние на характеристике . Значение переносим (как показано стрелкой) на характеристику и, опустив пер­пендикуляр на ось абсцисс, получаем значение . Это значение переносим на перпендикуляр, восстанов­ленный из точки, соответствующей . Проделав такое построение для n значений, получим n точек, принадле­жащих одной ветви статической характеристики . Вторая ветвь функции строится как кривая, сим­метричная первой ветви относительно начала коор­динат.

При согласно-параллельном включении звеньев с не­линейными статическими характеристиками (рис. 1.17, б) можно записать

(1.3)

Получение результирующей статической характеристики здесь сводится к сложению статических характеристик отдельных звеньев и не представляет никакого затрудне­ния как при аналитическом, так и графическом задании нелинейностей.

В случае встречно-параллельного соединения нели­нейных звеньев (рис. 1.17, в) можно записать

где знак «+» соответствует положительной обратной связи, а знак «—» — отрицательной. Так как

то получим

Разрешая последнее выражение относительно аргумента, имеем

где — функция, обратная . Полученное выражение можно записать в виде

(1.4)

где — результирующая функция, учитывающая сигналы прямой цепи и цепи обратной связи.

Искомая результирующая статическая характеристи­ка контура будет функцией, обратной .

Как видно из (1.4), для получения результирующей статической характеристики нелинейного звена с нели­нейной обратной связью следует найти функцию , обратную функции основного звена, вычесть (для положительной) или прибавить (для отрицательной обратной связи) нелинейную функцию обратной связи , а затем найти обратную функцию полученной суммарной функции .

Пусть, например, имеем встречно-параллельное соединение двух звеньев с нелинейностями, заданными аналитически (рис. 1.19).

Рис.1.19. Встречно-параллельное

соединение двух звеньев

Согласно (1.4) запишем выра­жение входной величины системы с отрицательной обрат­ной связью

Разрешая полученное выражение относительно , полу­чим результирующую статическую характеристику

Если уравнение (1.4) трудно разрешимо относи­тельно , то можно не находить аналитического выра­жения результирующей статической характеристики, а, задаваясь значениями , определять и строить харак­теристику графически.

Таким же образом к одному звену можно приводить нелинейное звено, охваченное жесткой линейной связью, или линейное звено, охваченное жесткой нелинейной связью.

При графическом задании исходных нелинейных ста­тических характеристик в случае встречно-параллельно­го соединения нелинейных звеньев построение результи­рующей характеристики эквивалентного звена согласно (1.4) может быть выполнено в следующем порядке. В координатных осях ( , ) строится, как обычно, харак­теристика основного звена . Затем строится харак­теристика звена обратной связи, для которой перемен­ная , откладываемая на оси ординат, является аргу­ментом, а является функцией . Сложив значе­ния указанных характеристик в дискретных точках, получим результирующую характеристику для отрица­тельной обратной связи. Для положительной обратной связи из значений на характеристике следует вычесть значения характеристики обратной связи .

Полученная характеристика и будет эквивалентной результирующей

В качестве примера рассмотрим получение результи­рующей характеристики для основного звена, имеющего статическую характеристику с зоной нечувствительности при линейном продолжении (рис. 1.20, а), и звена об­ратной связи, имеющего характеристику с ограничением.

а) б) в)

Рис.1.20. Получение результи­рующей

характеристики для основного звена

Характеристику основного звена строим, как обыч­но, на координатной плоскости ( , ) (рис. 1.20, б), принимая за переменную х. Характеристику строим в зависимости от своего аргумента . Сложив значения для построенных характеристик, получим результирующую характеристику для случая отрица­тельной обратной связи. Вычтя значения для из значений для получим характеристику для поло­жительной обратной связи (пунктирная ломаная).

Интересно отметить, что полученная результирующая характеристика при положительной обратной связи в интервале имеет двузначность, а в точках и будет иметь место релейный эф­фект. Практически эквивалентная статическая характе­ристика будет релейной с линейным продолжением (рис. 1.20, в).