Составление уравнений нелинейных автоматических систем

Составление уравнений нелинейных автоматических систем обычно производится после построения структур­ных схем. Как и при исследовании линейных систем, вна­чале составляются уравнения отдельных звеньев, а затем эти уравнения объединяются в уравнение системы. За­метим, что некоторые методы исследования (методы мо­делирования, графоаналитические методы) не требуют перехода от уравнений звеньев к уравнению системы.

Наличие нелинейных звеньев не позволяет получить сразу единое уравнение нелинейной системы. В простейшем случае, как отмечалось, система представляется в виде линейной части с ее линейным дифференциальным уравнением и нелинейности, описываемой либо нелиней­ным дифференциальным или алгебраическим уравнени­ем, либо графиком нелинейной статической характери­стики. Рассматриваемые здесь методы исследования в основном и базируются на представлении системы в ви­де линейной части и нелинейности.

При объединении линейного уравнения линейной ча­сти и нелинейного уравнение (для нелинейности) общее уравнение системы будет нелинейным. Получение линей­ного уравнения системы становится возможным лишь после применения к нелинейностям методов линеариза­ции. Применение для анализа и синтеза нелинейных си­стем амплитудно-фазочастотных характеристик позволя­ет выполнить исследование процессов в замкнутых си­стемах по их характеристикам в разомкнутом состоянии. Поэтому переход к единому уравнению замкнутой систе­мы часто и не требуется.

Уравнения линейных звеньев составляются по извест­ным методам линейной теории. Для нелинейных звень­ев уравнения записываются в виде нелинейных функций. Здесь будем использовать в основном готовые урав­нения динамических звеньев, известные из литературы. К подробному составлению уравнений звеньев будем прибегать лишь в некоторых случаях при рассмотрении конкретных примеров нелинейных систем.

Составление уравнений линейных частей системы мо­жет выполняться либо методом исключения переменных, либо с помощью передаточных функций линейных звень­ев, объединенных в линейную часть системы (при этом должны выполняться правила структурных преоб­разований для линейных систем).

Пусть требуется составить уравнение для одноконтур­ной системы с одним нелинейным звеном (рис. 1.21), с внешним задающим воздействием и выходной пере­менной .

В соответствии со структурной схемой можно за­писать:

уравнение датчика рассогласований

(1.5)

уравнение первого звена

(1.6)

уравнение нелинейного звена

(1.7)

уравнение третьего звена

(1.8)

уравнение звена обратной связи

(1.9)

Рис.1.21,а. Одноконтур­ная

система с одним

нелинейным звеном

Найдем уравнение линейной части методом исключе­ния переменных. Выходной величиной линейной части является переменная х, и поэтому, начиная с первого звена, исключаем переменные, обходя контур против на­правления прохождения сигналов. Заменяя в уравнении (1.6) его значением из (1.5), имеем

(1.10)

Умножая полученное уравнение на оператор левой части уравнения (1.9), исключаем переменную :

Далее полученное уравнение умножаем на оператор левой части уравнения (1.8) и исключаем переменную у:

(1.11)

В результате получаем дифференциальное уравнение линейной части системы с ее выходной переменной х, входной переменной х₂ и задающим воздействием g.

Объединяя (1.7) и (1.11), т. е. исключая перемен­ную , получаем нелинейное уравнение замкнутой си­стемы для входной переменной нелинейного звена

(1.12)

Здесь в процессе составления общего уравнения си­стемы исключилась выходная переменная системы , которая может интересовать нас при исследовании. Пос­ле получения решения уравнения (1.40) для переменной можно всегда пересчитать решение к выходной величине системы через передаточные функции звеньев, разделяющих и , или с помощью вы­ражений (1.9) и (1.10).

Если в нелинейной системе составлять уравнение сразу относительно выходной величины, то оно, как пра­вило, до конца не разрешается, так как выходная вели­чина входит в аргумент нелинейной функции. Действи­тельно, взяв уравнение (1.8) за исходное, можно в нем вместо подставить его значение (1.7). Тогда будем иметь

Далее следует исключить переменную х. Взяв ее значе­ние из (1.6), будем иметь

Заменив его значением (1.5), получим

Учитывая значение из (1.9), последнее выражение можно записать в виде

(1.13)

из которого очевидны трудности определения выходной переменной системы .

Таким образом, в нелинейных системах из-за наличия нелинейностей общее уравнение составляется не относительно выходной переменной си­стемы, а относительно выходной переменной линейной части или относительно входной переменной нелинейно­го звена.

При рассмотрении собственного движения нелиней­ной системы уравнение линейной части можно сразу за­писать через передаточную функцию. После переноса сумматора через первое звено по ходу сигнала и переноса разветвления через третье звено против хода сигнала исходная структурная схема (рис. 1.21, а) преобразуется к виду, изображенному на рис. 1.21, б.

Рис.1.21.б. Преобразованная

одноконтур­ная

система с одним нелинейным звеном

Для рассматриваемого примера при и временном неучете выходной переменной системы у передаточная функция линейной части системы будет равна

откуда имеем

(1.14) что соответствует (1.39) при и учете знака «—», необходимого для замыкания системы.

В качестве второго примера составим уравнение не­линейной системы, имеющей жесткую дополнительную обратную связь, охватывающую нелинейное звено (рис. 1.22).

Рис.1.22. Не­линейная система

с жесткой дополнительной

обратной связью

Запишем уравнения звеньев системы соответственно их передаточным функциям:

(1.15)

(1.16)

(1.17)

(1.18)

Коэффициент , связывает изменение скорости с возмущением .

Составим уравнение линейной части, в которую включаем все звенья и узлы системы, кроме нелинейного звена. Для линейной части выходной величиной яв­ляется переменная х, а входной — переменная . Из (1.17) имеем

Умножив данное уравнение на оператор левой части уравнения (1.15), получим

или при учете соотношения замыкания системы:

Полученное уравнение умножаем на оператор левой ча­сти, уравнения (1.18). Тогда имеем

или окончательно

Полученное линейное уравнение линейной части может быть объединено с уравнением нелинейного звена (1.16) в единое нелинейное уравнение замкнутой системы.