Собственные колебания в консервативных системах

Движение в системе с n степенями свободы описывается n независимыми координатами, выбор которых произволен. Число степеней свободы определяется минимальным числом переменных, необходимых для полного описания движения.

Можно также ввести нормальные координаты, число которых равно числу степеней свободы. Движение каждой нормальной координаты происходит независимо от остальных. Поэтому каждая нормальная координата совершает гармоническое колебание с собственной, или нормальной, частотой. Любые свободные и вынужденные колебания можно представить в виде суперпозиции нормальных колебаний.

Для исследования собственных колебаний в системе с n степенями свободы воспользуемся уравнениями Лагранжа. Пусть движение в системе определяется n независимыми обобщёнными координатами q₁,…, q_n.

Потенциальная энергия системы является функцией обобщённых координат V(q₁,…, q_n). В положении устойчивого равновесия потенциальная энергия имеет минимум, т. е.

, s = 1,…, n,

где q_s0 - значение координат в точке равновесия. Если в качестве новых координат выбрать x_s = q_s - q_s0 - отклонения от равновесных значений координат, то для малых x_s можно записать

Потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной, поэтому положим V(0,…, 0) = 0. Таким образом, пренебрегая высшими степенями в разложении, получим

.

(8.1)

Потенциальная энергия является положительно определённой квадратичной формой отклонения обобщённых координат от положения равновесия, k_sl ³ 0, k_sl = k_ls. Аналогично кинетическая энергия системы является положительно определённой квадратичной формой обобщённых скоростей:

.

(8.2)

В уравнениях (8.1) и (8.2) члены с s = l описывают энергию парциальных систем, а члены с s ¹ l соответствуют энергии связи между s-й и l-й парциальными системами.

Для каждой координаты можно записать уравнение Лагранжа (1.30) в виде

, s = 1,…, n,

отсюда получим n линейных ДУ, которые могут быть записаны в матричной форме в виде

.

(8.3)

где матрицы массы , упругости и вектор обобщённых координат равны соответственно

,  ,  .

Решение матричного уравнения (8.3) естественно искать в виде экспоненты

,

где амплитудный вектор в общем случае может быть комплексным. Подставляя решение в уравнение, можно записать

.

(8.4)

Нетривиальное решение матричного уравнения (8.4) возможно лишь при условии равенства нулю определителя системы

,

(8.5)

которое является уравнением n-й степени относительно w² и имеет n корней , s = 1,…, n. Так как все коэффициенты уравнения (8.5) - действительные числа, тогда истинное решение на частоте w_s следует искать в виде

.

(8.6)

Амплитудный вектор должен удовлетворять уравнению вида (8.4):

, s = 1,…, n.

(8.7)

Это матричное уравнение эквивалентно системе n однородных уравнений для амплитуд A_sm. Первый индекс у амплитуды соответствует номеру собственной частоты, второй индекс - номеру координаты. Опять-таки, чтобы существовало нетривиальное решение, нужно, чтобы определитель последнего соотношения равнялся нулю. Если детерминант равняется нулю, то одну из амплитуд можно выразить через все остальные. Зафиксируем A_s1, тогда сможем найти все остальные амплитуды, а соответственно и коэффициенты распределения амплитуд:

, m = 1,…, n, s = 1,…, n.

Величины c_sm при фиксированном s образуют вектор , который называется вектором коэффициентов распределения амплитуд на частоте w_s, а все коэффициенты c_sm - квадратную матрицу:

.

Амплитудные вектора и выражаются через следующим образом:

,  .

Поэтому, подставляя эти соотношения в (8.6), получим s-е собственное колебание в виде

.

(8.8)

Каждая из функций вида (8.8) является решением (8.3). В силу принципа суперпозиции, общее решение нужно записать в виде взвешенной суммой (8.8):

,  .

(8.9)

В этом выражении C_s и j_s определяются начальными условиями, а формы собственных колебаний и частоты w_s зависят от параметров системы.

Введём нормальные координаты, т. е. такие координаты, которые совершают гармонические колебания при любых начальных условиях. Их можно ввести следующим образом. Зададим n гармонических колебаний вида

, s = 1,…, n.

Каждое из колебаний h_s можно рассматривать как нормальное колебание. Если так выделить нормальные колебания, то движение l-той координаты можно представить как

, l = 1,…, n.

(8.10)

Уравнения (8.10) выражают обобщённые координаты через нормальные. В матричном виде (8.10):

,

где - вектор, образованный нормальными координатами.

Подставим в таком виде в (8.3), тогда

.

Так как каждая нормальная координата совершает гармоническое колебание, то для любого h_s справедливо равенство

,

поэтому из двух последних соотношений следует:

,

т. е. - диагональная матрица с элементами .