Сводка основных формул
· Процентная ставкаrt = , (1)
где PV — предоставляемая в долг сумма,
FV — возвращаемая сумма.
· Учетная ставкаdt = (2)
· Соотношения между ставками:rt = или dt = (3)
· Дисконт-фактор:n = (4)
· Индекс роста капитала: Bt = (5)
· Формула вычисления процентов «со 100»: Q’=Q∙r (6)
· Формула вычисления процентов «на 100»: (7)
· Формула вычисления процентов «во 100»: (8)
· Формула наращение простыми процентами:
(9)
· Формула простых процентов в случае нецелого числа лет вид:
(10)
Возможны три варианта начисления:
а) точный процент с точным числом дней, обозначаемый как 365/365 или ACT/ACT;
б) обыкновенные проценты с точным числом дней, обозначаемые как 365/360 или АСТ/360 (t - точное, T=360);
в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней, обозначаемые как 360/360 (t - приблизительное, считается, что в месяце 30 дней, T = 360).
· Дивизор: (11)
· Формулы для вычисления процентного платежа (при использовании простой ставки):
а) если известна величина капитала (P): I = P . l . r; (12)
б) если известна величина капитала, увеличенного на процентный платеж (P+I):
или ; (13)
в) если известна величина капитала, уменьшенного на процентный платеж (P-I):
или (14)
· Формула наращения простыми процентами по переменной процентной ставке:
(15)
где на период nk установлена ставка ik и таких периодов m.
· Формула определения простой процентной ставки, доставляющей при наращении такой же результат, как и несколько простых процентных ставок:
(16)
где на период nk установлена ставка ik и таких периодов m.
· Формула определения величины начисленных процентов за пользование кредитом с учетом уменьшения долга с течением времени:
(17)
где k – число погасительных платежей в год, n – срок кредита.
· Формула приведенной стоимости (при использовании простой ставки):
(18)
· Формула дисконтирования по простой учетной ставке:
(19)
· Формула наращения по простой учетной ставке:
, (20)
· Формула для определения срока ссуды (при использовании простой ставки):
или (21)
или (22)
· Формулы для определения простой ставки:
или (23)
или (24)
· Эквивалентность простых ставок:
(25)
(26)
· Эквивалентность простых ставок при разных временных базах:
(27)
(28)
где Tr, Td – временные базы, равные количеству дней в году при использовании соответственно процентной и учетной ставок.
· Формулы определения средних значений:
а) простой процентной ставки:
(29)
(30)
б) срока:
(31)
(32)
где i1, i2, …, im – простые процентные ставки, под которые взяты соответственно суммы P1, P2,…,Pm на сроки где n1, n2, …, nm.
· Формулы для определения средних значений:
а) простой учетной ставки:
(33)
(34)
б) срока:
(35)
(36)
где d1, d2, …, dm – простые учетные ставки, по которым соответственно суммы F1, F2,…,Fm учитываются за сроки где n1, n2, …, nm.
· Формула наращения простыми процентами с учетом уплаты налога:
(37)
где q – ставка налога на проценты.
· Формула наращения по простой учетной ставке с учетом уплаты налога:
(38)
где q – ставка налога на проценты.
· Индекс цен (индекс инфляции):
(39)
где P1, P2 – стоимости потребительской корзины в начале и в конце периода длительностью t.
· Темп инфляции:
(40)
где P1, P2 – стоимости потребительской корзины в начале и в конце периода длительностью t.
· Соотношение между индексом инфляции и темпом инфляции:
(41)
· Формула определения индекса инфляции за период при известных индексах инфляции за составляющие его подпериоды:
(42)
где Ip(ti) ,(hti) – индекс инфляции (темп инфляции) за подпериод ti, подпериоды расположены последовательно друг за другом и t = t1 + t2 +…+tk.
· Формула наращения простыми процентами учетом инфляции:
(43)
где Ip(n) – индекс инфляции за период n.
· Формулы определения простой годовой процентной ставки, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно первоначальной ставке r:
(44)
(45)
где hn – темп инфляции за период n,
Ip(n) – индекс инфляции за период n.
· Формулы определения реальной годовой процентной ставки, при объявленной номинальной процентной ставке в условиях инфляции:
(46)
· Формулы определения простой годовой учетной ставки, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно первоначальной ставке d:
(47)
· Формулы определения реальной годовой учетной ставки, при объявленной номинальной учетной ставке в условиях инфляции:
(48)
· Формула для вычисления величины нового платежа при использовании простой процентной ставки:
(49)
где P1 и n1 – первоначальный платеж и срок его выплаты, n0 – срок выплаты нового платежа.
· Формула для вычисления срока нового платежа при использовании простой процентной ставки:
(50)
где P1 и n1 – первоначальный платеж и срок его выплаты, P0 – величина нового платежа.
· Формула определения срока консолидированного платежа при использовании простой процентной ставки:
(51)
где платежи P1, P2,…,Pm, уплачиваемые соответственно через время n1, n2,…, nm заменяются одним платежом P0.
· Формула для вычисления величины нового платежа при использовании простой учетной ставки:
(52)
где P1 и n1 – первоначальный платеж и срок его выплаты, n0 – срок выплаты нового платежа.
· Формула для вычисления срока нового платежа при использовании простой учетной ставки:
(53)
где P1 и n1 – первоначальный платеж и срок его выплаты, P0 – величина нового платежа.
· Формула определения срока консолидированного платежа при использовании простой учетной ставки:
(54)
где платежи P1, P2,…,Pm, уплачиваемые соответственно через время n1, n2,…, nm заменяются одним платежом P0.
· Формула наращения сложными процентами:
(55)
где n - число периодов начисления сложных процентов.
· Формула наращения сложными процентами по переменной процентной ставке:
(56)
где nk –количество периодов начисления сложных процентов по процентной ставке ik , n – общий срок наращения.
· Формула наращения по смешанной схеме:
(57)
где w – целое число периодов начисления сложных процентов, f – дробная часть периода, n = w+f.
· Формула наращения сложными процентами при начислении процентов несколько раз в год:
(58)
где n – число лет, m – количество начислений в год.
· Формула наращения по смешанной схеме при начислении процентов несколько раз в год:
(59)
где n – число лет, ‑ целое число периодов начисления сложных процентов в n годах, ‑ дробная часть периода,
· Формула определения срока ссуды (при использовании сложной процентной ставки):
(60)
· Формулы для определения номинальной годовой процентной ставки:
(61)
(62)
где ref – эффективная годовая процентная ставка.
· Формулы определения эффективной годовой процентной ставки:
(63)
(64)
· Формула приведенной стоимости (при использовании сложной ставки):
(65)
· Формула приведенной стоимости (при m-кратном начислении процентов в год):
(66)
· Формула дисконтирования по сложной учетной ставке:
(67)
где n – число периодов дисконтирования.
· Формула дисконтирования по смешанной схеме:
(68)
где w – целое число периодов дисконтирования по сложной учетной ставке, f – дробная часть периода, n = w+f.
· Формула дисконтирования по сложной учетной ставке, осуществляемого несколько раз в год:
(69)
где n – число лет, m – количество осуществлений операции дисконтирования в год.
· Формула дисконтирования по смешанной схеме при дисконтировании несколько раз в год:
(70)
где n – число лет, ‑ целое число периодов дисконтирования в n годах, ‑ дробная часть периода,
· Формула для определения срока ссуды (при использовании сложной учетной ставки):
(71)
· Формулы для определения номинальной годовой учетной ставки:
(72)
(73)
где def – эффективная годовая процентная ставка.
· Формулы определения эффективной учетной ставки:
(74)
(75)
· Формула наращения сложными процентами по учетной ставке:
(76)
где n – число периодов начисления сложных процентов.
· Формула наращения сложными процентами по учетной ставке при начислении процентов несколько раз в год:
(77)
где n – число лет, m – количество начислений в год.
· Формула наращения непрерывными процентами:
(78)
где δ – сила роста.
· Формула для определения срока ссуды (при непрерывном начислении процентов):
(79)
· Формула для определения силы роста:
(80)
· Эквивалентность простых и сложных ставок:
(81)
(82)
(83)
(84)
(85)
(86)
(87)
(88)
где r, d – простые ставки.
· Эквивалентность сложных ставок:
(89)
(90)
(91)
(92)
· Эквивалентность силы роста и простых ставок:
(93)
(94)
(95)
(96)
где r, d – простые ставки.
· Эквивалентность силы роста и сложных ставок:
(97)
(98)
(99)
(100)
· Формулы наращения сложными процентами с учетом уплаты налога:
а) если налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока:
(101)
б) если налог на полученные проценты выплачивается каждый год:
(102)
где q – ставка налога на проценты, a – коэффициент наращения, равный либо , либо , либо .
· Формулы для вычисления величины налога за каждый год при наращении сложными процентами, если налог на полученные процентами выплачивается каждый год:
(103)
где k – номер года, за который взимается налог.
· Формула наращения сложными или непрерывными процентами с учетом инфляции:
(104)
где Ip(n) – индекс инфляции за период n, a – равно либо , либо , либо .
· Формула определения номинальной годовой процентной ставки, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно первоначальной номинальной годовой ставке r(m):
(105)
· Формула определения реальной номинальной годовой процентной ставки при объявленной исходной процентной ставке r(m) в условиях инфляции:
(106)
· Формула определения номинальной годовой учетной ставки, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно первоначальной номинальной годовой ставке d(m):
(107)
· Формула определения реальной номинальной годовой учетной ставки при объявленной исходной учетной ставке d(m) в условиях инфляции:
· Формула определения силы роста, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно первоначальной силе роста δ:
(109)
· Формула определения реальной силы роста при объявленной исходной силе роста δ в условиях инфляции:
(110)
· Формула Фишера:
(111)
где h – годовой темп инфляции.
· Формула для вычисления величины нового платежа при использовании сложных ставок:
(112)
где P1 и n1 – первоначальный платеж и срок его выплаты, n0 – срок выплаты нового платежа, a – равно либо , либо , либо .
· Формула для вычисления срока нового платежа при использовании сложных ставок:
(113)
где P1 и n1 – первоначальный платеж и срок его выплаты, P0 – величина нового платежа.
· Формула для определения величины консолидированного платежа при использовании сложных ставок:
(114)
где P1, P2,…,Pl, ‑ платежи, выплачиваемые соответственно через время n1, n2,…, nl; n0 – срок консолидированного платежа.
· Формула для определения срока консолидированного платежа при использовании сложных ставок:
(115)
где платежи P1, P2,…,Pl, уплачиваемые соответственно через время n1, n2,…, nl; P0 – величина консолидированного платежа.
· Будущая стоимость переменного аннуитета постнумерандо:
(116)
· Приведенная стоимость переменного аннуитета постнумерандо:
(117)
· Будущая стоимость переменного аннуитета пренумерандо:
(118)
· Приведенная стоимость переменного аннуитета пренумерандо:
(119)
· Будущая стоимость постоянного срочного аннуитета постнумерандо:
(120)
· Приведенная стоимость постоянного срочного аннуитета постнумерандо:
(121)
· Оценка постоянного p-срочного аннуитета постнумерандо:
а) будущая стоимость аннуитета: (122)
б) приведенная стоимость аннуитета: (123)
в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:
(124)
где A – величина каждого денежного поступления, r – ставка за базовый период начисления процентов, m – количество начислений сложных процентов в периоде, p – количество денежных поступлений в периоде, n – количество периодов.
· Приведенная стоимость постоянного отсроченного аннуитета постнумерандо:
(125)
где h – число периодов, через которое начинает поступать первый из потока платежей.
· Оценка постоянного p-срочного аннуитета пренумерандо:
а) будущая стоимость аннуитета:
(126)
б) приведенная стоимость аннуитета:
(127)
в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:
(128)
где ‑ будущая и приведенная стоимости соответствующих аннуитетов постнумерандо.
· Будущая стоимость постоянного p-срочного аннуитета постнумерандо с начислением простых процентов в течение периода:
(129)
· Будущая стоимость постоянного p-срочного аннуитета пренумерандо с начислением простых процентов в течение периода:
(130)
· Оценка постоянного аннуитета постнумерандо в случае начисления непрерывных процентов:
а) будущая стоимость аннуитета: (131)
б) приведенная стоимость аннуитета: (132)
в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:
(133)
где A – величина каждого денежного поступления, δ– сила роста за базовый период начисления процентов, p – количество денежных поступлений в периоде, n – количество периодов.
· Оценка непрерывного аннуитета:
а) будущая стоимость аннуитета:
(134)
б) приведенная стоимость аннуитета:
(135)
в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:
(136)
где – суммарная величина денежных поступлений за базовый период начисления процентов.
· Оценка непрерывного аннуитета в случае начисления непрерывных процентов:
а) будущая стоимость аннуитета:
(137)
б) приведенная стоимость аннуитета:
(138)
в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:
(139)
где – суммарная величина денежных поступлений за базовый период начисления процентов, δ– сила роста за базовый период начисления процентов.
· Оценка переменного аннуитета постнумерандо, платежи которого образуют арифметическую прогрессию:
а) будущая стоимость аннуитета:
(140)
б) приведенная стоимость аннуитета:
(141)
в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:
(142)
где A – первый член прогрессии, z – разность прогрессии.
· Оценка переменного аннуитета постнумерандо, платежи которого образуют геометрическую прогрессию:
а) будущая стоимость аннуитета:
(143)
б) приведенная стоимость аннуитета:
(144)
в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:
(145)
где A – первый член прогрессии, q – знаменатель прогрессии.
· Оценка постоянного аннуитета постнумерандо, период которого больше базового периода начисления процентов:
а) будущая стоимость аннуитета: (146)
б) приведенная стоимость аннуитета:
(147)
в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:
(148)
где A – величина каждого денежного поступления, r – ставка за базовый период начисления процентов, m – количество начислений сложных процентов в периоде, u – количество периодов, через которое осуществляются денежные поступления, n – количество периодов.
· Оценка постоянного аннуитета постнумерандо, период которого больше базового периода начисления процентов, в случае начисления непрерывных процентов:
а) будущая стоимость аннуитета:
(149)
б) приведенная стоимость аннуитета:
(150)
в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:
(151)
где A – величина каждого денежного поступления, δ– сила роста за базовый период начисления процентов, u – количество периодов, через которое осуществляются денежные поступления, n – количество периодов.
· Оценка постоянного аннуитета пренумерандо, период которого больше базового периода начисления процентов:
а) будущая стоимость аннуитета:
(152)
б) приведенная стоимость аннуитета:
(153)
· Оценка постоянного аннуитета пренумерандо, период которого больше базового периода начисления процентов, в случае начисления непрерывных процентов:
а) будущая стоимость аннуитета: (154)
б) приведенная стоимость аннуитета: (155)
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
1. Ковалев В.В. Методы оценки инвестиционных проектов. — М.: Финансы и статистика, 2003. — 144 с.
2. Ковалев В.В. Сборник задач по финансовому анализу. — М.: Финансы и статистика, 2003. — 128
3. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб. Пособие / Под ред. Б.А. Лагоши— М.: Финансы и статистика, 2001. — 224 с.
4. Риск-анализ инвестиционного проекта: Учебник для вузов/ Под ред. М.В.Грачевой. — М.: ЮНИТИ_ДАНА, 2001. — 351 с.
5. Симчера В.М. Введение в финансовые и актуарные вычисления. – М.: Финансы и статистика, 2003.
6. Фомин Г.П. Финансовая математика: 300 примеров и задач. Учебное пособие. – М.: «Гном-Пресс», 2000. – 120с.
7. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учеб. – М.: Дело, 2002. – 400 с.
8. Шапкин А.С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К◦», 2003. — 544 с.
Дополнительная литература
9. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: ИНФРА – М, 1998. – 160с.
10. Ващенко Т.В. Математика финансового менеджмента. – М.: Перспектива, 1996. – 82 с.
11. Вебер М. Коммерческие расчеты от А до Я. Формулы, примеры расчетов и практические советы. / Пер. с нем. – М.: Издательство «Дело и Сервис», 1999. – 384 с.
12. Ершов Ю.С. Финансовая математика в вопросах и ответах: Учебное пособие. – Новосибирск: Сибирское соглашение, 1999. – 160с.
13. Капельян С.Н., Левкович О.А. Основы коммерческих и финансовых расчетов. – Мн.: НТЦ «АПИ», 1999. – 224с.
14. Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения: Учебн.-практ. Пособие для вузов. – М.: «Издательство ПРИОР», 1999. – 144с.
15. Ковалев В.В. Сборник задач по финансовому анализу: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 128с.
16. Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 328с.: ил.
17. Корнилов И.А. Актуарные расчеты в практике страхования. – М.: Издательство МЭСИ. 1998. – 66с.
18. Корнилов И.А. Основы актуарных расчетов: Учебное пособие – М.: Издательство МЭСИ. 1997. – 117с.
19. Кочович Е. Финансовая математика: Теория и практика финансово-банковских расчетов: Пер. с серб. / Предисл. Е.М. Четыркина. – М.: Финансы и статистика, 1994. – 268с.
20. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики: Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. – М.: Дело, 1998. – 304с.
21. Лукасевич И.Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений. – М.: Финансы, ЮНИТИ, 1998. – 400с.
22. Лукашин Ю.П. Основы финансовой математики: Учебное пособие – М.: Издательство МЭСИ, 1999. – 60с.
23. Малыхин В.И. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. – 247с.
24. Медведев Г.А. Начальный курс финансовой математики: Учеб. пособие. – М.: ТОО «Остожье», 2000. – 267с.
25. Радионов Н.В., Радионова С.П. Основы финансового анализа: математические методы, системный подход. – СПб.: Альфа, 1999. – 592с.: ил.
26. Салин В.Н., Ситникова О.Ю. Техника финансово-экономических расчетов: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 80с.: ил.
27. Уланов В.А. Сборник задач по курсу финансовых вычислений / Под ред. Проф. В.В. Ковалева. – М.: Финансы и статистика, 2000. –400с.: ил.
28. Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах: Учебное пособие для вузов / Пер. с англ. Под ред. М.Р. Ефимовой. – М.: Финансы, ЮНИТИ, 1999. – 527с.
29. Хелферт Э. Техника финансового анализа / Пер. с англ. Под ред. Л.П. Белых. – М.: Аудит, ЮНИТИ, 1996. – 663с.
30. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. – 2-е изд., испр. и доп. - М.: «Дело Лтд», 1995. – 320с.
31. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. – М.: «Дело», «BusinessРечь», 1992. – 320с.
32. Четыркин Е.М. Финансовый анализ производственных инвестиций. – М.: Дело, 1998. – 256с.
33. Четыркин Е.М., Васильева Н.Е. Финансово-экономические расчеты. М.: Финансы и статистика, 1990.
[1] Таблицы значений множителя наращения (и прочие финансовые таблицы) приведены с разной степенью общности во многих книгах, связанных с финансовыми вычислениями. См., например, работы таких авторов, как Е.М. Четыркин, Я.С. Мелкумов, Г.П. Башарин и др.
[2] Заметим, что приводимые в данной работе обозначения множителя наращения и других факторных множителей являются условными. В англоязычной и переводной литературе широко распространены обозначения, представляющие собой аббревиатуры англоязычных наименований соответствующих множителей.
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 399;