Типовые примеры и методы их решения

Пример 3.1.1. Клиент в конце каждого года вкладывает 3 тыс. руб. в банк, выплачивающий сложные проценты по процентной ставке 25% годовых. Определите сумму, которая будет на счете клиента через 7 лет. Если эта сумма получается в результате однократного помещения денег в банк в начале первого года, то какой величины должен быть взнос? Как изменятся найденные величины, если деньги вкладываются в начале каждого года?

Решение.Первый вариант помещения денег является постоянным аннуитетом постнумерандо, член которого равен 3 тыс. руб., срок - 7 лет, и период равен одному году. Изобразим схематично эту ситуацию на оси времени (одно деление равно одному году), помещая над осью члены аннуитета.

3 3 3 3 3 3 3

0 1 2 3 4 5 6 7 t лет

Для определения суммы на счете через 7 лет (т.е. будущей стоимости аннуитета) можно воспользоваться общей форму­лой (116), полагая r =0,25, С₁ =С₂,.. = С₇ =3. Однако удобнее пользоваться уже преобразованным вариантом этой формулы для постоянного аннуитета, а именно формулой (120), из которой при A = 3 тыс. руб., п = 7получим:

тыс. руб.

Значение коэффициента наращения аннуитета FМЗ(25%,1) можно либо взять из табл. 3 приложения 3, либо вычислить непосредственно по формуле, определяющей этот коэффициент.

Для определения величины взноса (в начале первого года), который при наращении сложными процентами через 7 лет станет равным 45,221 тыс. руб., можно воспользоваться формулой нахождения приведенной стоимости аннуитета. Применяя формулу (121), находим:

тыс. руб.

Естественно, можно было воспользоваться уже ранее найденной будущей стоимостью и формулой (65):

тыс. руб.

Если же деньги вкладываются в начале каждого года, то имеем дело с постоянным аннуитетом пренумерандо, который схематично выглядит таким образом:

3 3 3 3 3 3 3

0 1 2 3 4 5 6 7 t лет

Для определения будущей и приведенной стоимости этого аннуитета пренумерандо можно воспользоваться полученми результатами и формулами (118) и (119) или соответственно формулами (126) и (127) при m = р = 1

тыс. руб.;

тыс. руб.

Пример 3.1.2.Вам предлагают сдать в аренду участок на шесть лет, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: а) 20 тыс. руб. - в конце каждого года; б) 240 тыс. руб. - в конце шестилетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 30% годовых по вкладам? При какой оплате в конце каждого года оба варианта практически эквивалентны?

Решение.Первый вариант оплаты представляет собой аннуитет постнумерандо при п = 6и А =20 тыс. руб. Схематично мот вариант можно представить таким образом:

20 20 20 20 20 20

0 1 2 3 4 5 6 t лет

В этом случае имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестирования полученных сумм как минимум на условиях 30% годовых (например, вложение в банк). К концу шестилетнего периода накопленная сумма может быть рассчитана в соответствии с формулой (120), где r = 30% :

тыс. руб.

Таким образом, расчет показывает, что вариант (а) более выгоден.

Конечно, оценку обоих вариантов можно было произвести и с позиции текущего момента. По формуле (121) находим приведенную стоимость денежного потока, получаемого при первом варианте оплаты аренды:

тыс. руб.

По формуле (65) определяем приведенную стоимость F_n =240 тыс. руб.:

тыс. руб.

Естественно, приходим к тому же выводу: вариант (а) более выгоден.

Для определения величины оплаты в конце каждого года, при которой оба варианта эквивалентны, воспользуемся равенством тыс. руб., из которого находим:

тыс. руб.

Такой же результат получим и из равенства тыс. руб.

Пример 3.1.3. Предприниматель в результате инвестирования в некоторый проект будет в течение трех лет получать в конце каждого квартала 8 тыс. руб. Определите возможные суммы, которые может через три года получить предприниматель, если можно поместить деньги в банк под сложную процентную ставку 24% годовых с начислением процентов: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно.

Решение. а) В этой ситуации возможны два варианта. Если начисляются только сложные проценты, то по формуле (122) при А = 8тыс. руб., п = 3 , r = 24% , m = 1 , р = 4 получим:

тыс. руб.

Так как, естественно, значения в таблице нет, его вычисляем непосредственно по формуле при , r = 0,24:

Если в течение года происходит начисление простых про­центов, то по формуле (129) получаем:

тыс. руб.

б) В данном случае можно воспользоваться формулой (120), считая базовым периодом начисления процентов квартал. Тогда и

тыс. руб.

в) В этом случае, пользуясь формулой (122) при A = 8 тыс. руб., n = 3, r = 24%, m = 12, р = 4 , имеем:

тыс. руб.

Таким образом, S₁ < S₂ < Sз и S₁ < Очевидно, что при решении этой задачи (в случае начисления только сложных процентов) можно было пользоваться только общей формулой (122), выбирая соответствующие значения параметров.

Заметим, что в ряде книг формулы оценки аннуитета имеют несколько отличный вид от соответствующих формул, приведенных в пособии, поскольку в них вместо величины А каждого денежного поступления взята за основу суммарная величина А денежных поступлений за базовый период начисления процентов (обычно за год). Таким образом, в формулах (122)-(124) и им подобных вместо множителя A появляется множитель .

Пример 3.1.4. Предприниматель, заключив на пять лет контракт с фирмой, будет получать от нее по 30 тыс. руб. в конце каждого полугодия. Эти платежи предприниматель будет помещать в банк на условиях начисления сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 32%. Определите приведенную стоимость суммы, которую получит предприниматель по данному контракту, если проценты начисляются: а) раз в полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно.

Решение.Воспользуемся во всех случаях только формулой (123), где А = 30 тыс. руб., r = 32%, п = 5, р = 2.

а) В этом случае m = 2 и, следовательно, mn =2 ^. 5 = 10, , . Поэтому:

тыс. руб.

б) Так как теперь m = 4, то mn = 4 • 5 = 20 , , Следовательно,

тыс. руб.

в) Поскольку m = 12, то , , Таблицами в этом случае воспользоваться нельзя, поэтому применяем непосредственно расчетные формулы. Так как , то

тыс. руб.

Как и следовало ожидать, приведенная стоимость с расчетом числа начислений уменьшается.

Пример 3.1.5.Какую сумму необходимо поместить в банк под номинальную процентную ставку 36% годовых, чтобы в течение 6 лет иметь возможность в конце каждого года снимать со счета 8 тыс. руб., исчерпав счет полностью, если банком начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежемесячно; в) непрерывно?

Решение.Для ответа на поставленный вопрос во всех случаях необходимо определить приведенную стоимость аннуитета постнумерандо при А = 8 тыс. руб., п = 6.

а) Полагая r = 36%, по формуле (121) находим:

тыс. руб.

б) В этом случае, используя формулу (123) при т = 12, р = 1, получим:

тыс. руб.

Обратим внимание и на другой способ решения. Можно •вначале найти эффективную годовую процентную ставку для r⁽¹²⁾ = 0,36 по формуле (63):

А затем применяем формулу (121) при r = 0,4256:

тыс. руб.

С точностью до второго знака после запятой получили такой же ответ.

в) Полагая в формуле (132) = 0,36, р = 1, находим:

тыс. руб.

Пример 3.1.6.Какую сумму необходимо поместить в банк под номинальную процентную ставку 30% годовых, чтобы в течение 8 лет иметь возможность ежегодно получать 12 тыс. руб., снимая деньги равными долями каждые 3 месяца, и в конце восьмого года исчерпать счет полностью, если банком начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) по полугодиям; в) непрерывно?

Решение.При нахождении искомой суммы во всех случаях необходимо определить приведенную стоимость p-срочного аннуитета постнумерандо при p = 4, A = 12/4 = 3 тыс. руб., п = 8 .

а) Полагая r = 30%, m = 1, по формуле (123) находим:

тыс. руб.

б) В этом случае m = 2 и, следовательно, mn = 2 • 8 =16, . Поэтому по формуле (123):

тыс. руб.

Естественно, получили меньшее значение, чем в предыдущем случае, поскольку начисление сложных процентов происходит чаще.

в) Так как начисление процентов происходит непрерывно, то полагаем = 0,3 и пользуемся формулой (132):

тыс. руб.

Пример 3.1.7. Банк предлагает ренту постнумерандо на 15 лет с полугодовой выплатой 10 тыс. руб. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается постоянной, и сложные проценты начисляются по полугодиям. По какой цене можно приобрести эту ренту, если выплаты начнут осуществляться: а) немедленно; б) через 3 года; в) через 4,5 года, а сложная процентная ставка равна 4, 10 и 24% годовых?

Решение.Для ответа на вопрос примера определим приведенную стоимость ренты во всех случаях, при этом будем считать, что число периодов п = 15 • 2 = 30. Тогда ставка за период будет соответственно 2, 5 и 12%. Обозначим через h число периодов, через которое начинает поступать первый из потока платежей. Для наглядности условие задачи изобразим схематично (для всех трех ситуаций) на оси времени, когда одно деление равно полугодию (т.е. равно периоду начисления процентов), помещая над осью платежи (в тыс. руб.):

а) h = 0:

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8……..27 28 29 30

t полугодий

б) :

10 10 10 10 10 10 10 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 28 29 30

t полугодий

в) :

10 10 10 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …28 29 30

t полугодий

В случае а) пользуемся формулой (121), определяя FМ4(r, n) либо по таблице, либо непосредственно по расчетной формуле. Учитывая, что А = 10 , например для r = 2% , получаем:

тыс. руб.

В случае б) пользуемся формулой (125), полагая h = 6. Поскольку v^h = FМ2(r, h), то, например, для r = 5% по формуле (125):

тыс. руб.

В случае в) также пользуемся формулой (125), полагая h = 9. В частности, для r = 12% :

тыс. руб.

Аналогичным образом определяются все остальные значения. Результаты расчетов (в тыс. руб.) для наглядности представим в виде таблицы.

Из таблицы видно, что с ростом процентной ставки и срока, после которого начнутся выплаты, приведенная стоимость уменьшается. В частности, если выплаты начнутся через 4,5 года (т.е. через 9 полугодий) и процентная ставка составит 24% годовых, то ренту можно приобрести за 29,047 тыс. руб. (или, конечно, дешевле).

В заключение отметим, что в формуле (125) h не обязательно должно быть целым числом. А вот если оно целое, как в условии примера, то формулу (125) можно привести к виду:

т.е. приведенная стоимость отсроченного аннуитета представляет собой разность приведенных стоимостей аннуитетов с платежами, начиная с первого периода. Например, для h = 9, r = 12%имеем:

тыс. руб.

Отличие на 1 руб. от значения, полученного по формуле (125) и равного 29,047 тыс. руб., объясняется погрешностью вычислений.

Очевидно, кстати, что при h = 0 из формулы (125) следует формула (121).

Пример 3.1.8.Некоторая фирма хочет создать фонд в размере 350 тыс. руб. С этой целью в конце каждого года фирма предполагает вносить по 60 тыс. руб. в банк под 28% годовых. Найдите срок, необходимый для создания фонда, если банк начисляет сложные проценты: а) ежегодно; б) по полугодиям; в) ежемесячно.

Решение.а) Поскольку имеем дело с аннуитетом постнумерандо, то при ответе на вопрос примера можно поступить двояко. Во-первых, из формулы (120) путем преобразований можно получить в общем виде формулу для расчета срока аннуитета, принимающую вид:

и подставить в нее значения тыс. руб., A = 60 тыс. руб., r = 0,28. Таким образом:

года.

Во-вторых, пользуясь непосредственной формулой для расчета FМ3(r, п), можно в формулу (120) подставить все известные значения и решить полученное уравнение относительно п. Так как формула (120) имеет вид:

,

то, подставляя вместо параметров их значения, получим:

,

откуда следует (1,28)ⁿ = 2,6333. Логарифмируя последнее равенство, находим:

Округлим срок до целого числа лет, т.е. пусть п = 4. Теперь, преобразуя формулу (120), определяем величину ежегодного взноса:

тыс. руб.

Следовательно, внося ежегодно по 58,183 тыс. руб., можно за 4 года создать фонд в размере 350 тыс. руб. Конечно, можно было сразу внести сумму 350•FM2(28%,4) = 130,385 тыс. руб., которая обеспечила бы через 4 года создание фонда необходимого размера. Однако одновременное изъятие из хозяйственного оборота 130,385 тыс. руб. менее целесообразно, чем ежегодные отчисления по 58,183 тыс. руб.

б) Найдем искомый срок, подставляя в формулу (122) значения всех известных параметров и учитывая, что в этом случае p =1, m = 2. Получим равенство:

которое равносильно выражению (1,14)²ⁿ=2,748. Откуда получаем: года.

в) В этом случае m = 12, поэтому из формулы (122) следует:

, откуда года.

Естественно, с увеличением числа начислений процентов искомый срок уменьшается.

Пример 3.1.9. Работник заключает с фирмой контракт, согласно которому в случае его постоянной работы на фирме до выхода на пенсию (в 65 лет) фирма обязуется перечислять в конце каждого года в течение 25 лет на счет работника в банке одинаковые суммы, которые обеспечат работнику после выхода на пенсию в конце каждого года дополнительные выплаты в размере 8000 руб. в течение 18 лет. Какую сумму ежегодно должна перечислять фирма, если работнику 40 лет и предполагается, что банк гарантирует годовую процентную ставку 20%?

Решение. Выплаты работнику после выхода на пенсию представляют собой аннуитет постнумерандо с членом A = 8000 руб. и длительностью n = 18 лет. Полагая r = 20%, по формуле (121) найдем приведенную стоимость этого аннуитета на момент выхода работника на пенсию:

руб.

Полученная величина представляет собой необходимую будущую стоимость ежегодных вкладов фирмы на счет работника. Поэтому размер каждого вклада можно найти из формулы (120), полагая руб.:

руб.

Таким образом, каждый год фирме вполне достаточно перечислять на счет работника 81 руб. 57 коп.

Пример 3.1.10. Предприниматель получил на 5 лет ссуду в размере 400 тыс. руб., причем ежегодно он должен выплачивать кредитору проценты по ставке 20%. Одновременно с получением ссуды предприниматель (для ее погашения) создает страховой фонд, в который в конце каждого года будет делать одинаковые взносы, чтобы к моменту возврата долга накопить 400 тыс. руб. Определите суммарные ежегодные затраты предпринимателя, если на деньги, находящиеся в фонде, начисляются сложные проценты по ставке 24% годовых.

Решение. Обозначим через А ежегодный взнос в страховой фонд, через R - ежегодные суммарные затраты предпринимателя. Так как уплачиваемые на долг проценты составляют тыс. руб., то R. = А + 80. Величину А можно найти из формулы (120), полагая тыс. руб., n = 5, r = 24%:

, откуда тыс. руб.

Таким образом, R = 49,689 + 80 = 129,699 тыс. руб.

Пример 3.1.11. Предлагается инвестировать 200 тыс. руб. на 4 года при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 50 тыс. руб.). По истечении четырех лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 80 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно депонировать деньги в банк из расчета 18% годовых (сложных)?

Решение. Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две суммы. При депонировании денег в банк к концу четырехлетнего периода на счете будет сумма:

тыс. руб.

В отношении альтернативного варианта, предусматривающего возмещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 50 тыс. руб. можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. Денежный поток в этом случае можно представить двояко:

а) как срочный аннуитет постнумерандо с А = 50, n = 4, r = 18% и единовременное получение суммы в 80 тыс. руб.;

б) как срочный аннуитет пренумерандо с А = 50, n = 3, r = 18% и единовременное получение сумм в 50 и 80 тыс. руб.

В первом случае на основании формулы (120) имеем:

тыс. руб.

Во втором случае на основании формулы (126) имеем:

тыс. руб.

Естественно, что оба варианта привели к одинаковому ответу. Таким образом, общая сумма капитала к концу пятилетнего периода будет складываться из доходов от депонирования денег в банке (210,77 тыс. руб.), возврата доли от участия в проекте за последний год (50 тыс. руб.) и единовременного вознаграждения (80 тыс. руб.). Общая сумма составит, следовательно, 340,77 тыс. руб. Предложение экономически нецелесообразно.

Пример 3.1.12. Компания гарантирует выплату дивидендов в размере 8 тыс. руб. на акцию в конце каждого года в течение неопределенно долгого времени. Имеет ли смысл покупать акции этой компании по цене 37 тыс. руб., если можно поместить деньги на депозит под 20% годовых?

Решение. Полагая в формуле (124) A = 8 тыс. руб., r = 0,2 и p = m = 1, находим, что истинная стоимость акции составляет тыс. руб. Следовательно, акции можно приобретать.

Пример 3.1.13. Фирма собирается учредить фонд для ежегодной (в конце года) выплаты пособий своим работникам. Определите сумму, которую фирма должна поместить на депозит в банк, чтобы обеспечить получение неограниченно долго в конце каждого года 12 тыс. руб., если банк начисляет: а) ежегодно сложные проценты по ставке 28%; б) ежеквартально сложные проценты по ставке 28%; в) непрерывные проценты с силой роста 28%.

Решение.Денежный поток во всех случаях является бессрочным аннуитетом постнумерандо, причем A = 12 тыс. руб. Необходимо найти приведенную стоимость этого аннуитета.

а) Так как r = 0,28 , то по формуле (124) при р = m = 1 получим:

тыс. руб.

б) Полагая в формуле (124) r = 0,28, m = 4, р = 1, находим:

тыс. руб.

в) Поскольку в этом случае p = 1, = 0,28, то из формулы (133) cледует:

тыс. руб.

Пример 3.1.14. Вы имеете возможность инвестировать одинаковую сумму денег в один из двух проектов. Первый проект позволит получить бессрочную ренту постнумерандо с ежегодными выплатами в размере 20 тыс. руб. Второй проект в течение двух лет принесет соответственно 40 тыс. руб. и 100 тыс. руб. Какой из этих проектов лучше, если процентная ставка составляет 25% годовых? Можно ли так изменить процентную ставку, что ответ изменится на противоположный?

Решение. Для сравнения проектов определим приведенные стоимости потоков доходов, доставляемых проектами.

Полагая в формуле (124) r = 0,25 при р = m = 1 , получим:

тыс. руб.

Для оценки второго проекта пользуемся формулой (117) при n = 2, С₁ = 40 тыс. руб., С₂ = 100 тыс. руб. и r = 25%:

тыс. руб.

Следовательно, второй проект предпочтительнее.

Теперь выясним, существует ли такая годовая процентная ставка r, при которой первый проект предпочтительнее. Для этого надо решить неравенство:

.

Совершая равносильные преобразования неравенства, получим r² + 5r - 1 < 0, откуда находим, что -5,1926<r<0,1926. Таким образом, процентная ставка должна быть меньше 19,26% годовых. С целью проверки полученного результата вычислим приведенные стоимости доходов, например, при ставке 17%. По формулам (124) и (117) соответственно получим:

тыс. руб.

тыс. руб.

Следовательно, при использовании ставки 17% первый проект предпочтительнее.

Пример 3.1.15. В банке получена ссуда на шесть лет в сумме 800 тыс. руб. под 25% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Требуется определить величину годового платежа и составить план погашения долга.

Решение. Обозначим через А величину искомого годового платежа. Поток этих платежей представляет собой аннуитет постнумерандо, для которого руб., r = 25%, n = 6. Поэтому для нахождения величины А можно воспользоваться формулой (121), из которой следует:

руб.

Составим план погашения долга. Поскольку в течение первого года заемщик пользовался ссудой в размере 800000 руб., то, платеж, который равен 271 058 руб. и будет сделан в конце этого года, состоит из следующих двух частей: процентов за год в сумме 200 000 руб. (25% от 800 000 руб.) и погашаемой части долга в сумме 271058 - 200000 = 71058 руб. В следующем году расчет будет повторен при условии, что размер кредита, которым пользуется заемщик, составит уже меньшую сумму по сравнению с первым годом, а именно: 800000 – 71058 = 728942 руб. Таким образом, проценты за год будут равны 182 236 руб. (25% от 728942 руб.), а погашаемая часть долга будет равна 271058 -182236 = 88822 руб. и т.д. Отсюда видно, что с течением времени сумма уплачиваемых процентов снижается, а доля платежа в счет погашения долга возрастает.

План погашения долга представим в виде таблицы:

Заметим, что данные в ходе вычислений округлялись, поэтому величина процентов в последней строке найдена балансовым методом, т.е. вначале записываем погашенную часть долга 216826 руб., а затем определяем величину процентов за год 271058 - 216826 = 54232 руб. Если же непосредственно найти 25% от 216826 руб., то получим 54207 руб. Суммируя величины в пятом столбце, получим размер выданной ссуды: 800 000 руб.

Таблица позволяет ответить на целый ряд дополнительных вопросов, представляющих определенный интерес для прогнозирования денежных потоков. В частности, можно рассчитать общую сумму процентных платежей, величину процентного платежа в k-м периоде, долю кредита, погашенную в первые k лет, и т.п.

Полезно также отметить, что можно вывести рекуррентные равенства, позволяющие сформулировать следующие правила заполнения таблицы:

а) каждый последующий элемент четвертого столбца (проценты за год) получается путем умножения предыдущего элемента на (1 + r) и вычитания из полученного произведения Аr;

б) каждый последующий элемент пятого столбца (погашенная часть долга) получается путем умножения предыдущего элемента на (1 + r);

в) каждый последующий элемент шестого столбца (остаток ссуды на конец года) получается путем умножения предыдущего элемента на (1 + r) и вычитания из полученного произведения А.

Например, для третьего элемента четвертого, пятого и шестого столбцов таблицы соответственно имеем (учитывая приближенность вычислений):

;

;

Пример 3.1.16. Предприниматель получил ссуду в сумме 300 тыс. руб. под 20% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. В соответствии с финансовым соглашением предприниматель будет возвращать долг равными суммами по 102 тыс. руб. в конце каждого года. Составьте план погашения долга.

Решение. Так как поток годовых платежей представляет собой аннуитет постнумерандо, то срок n погашения долга можно определить, преобразовав формулу (121):

Таким образом, при тыс. руб., А = 102 тыс. руб., r = 0,2, находим:

года.

Получили нецелое количество лет. Поэтому первые четыре года величина годового платежа будет 102 тыс. руб., а в последнем (пятом) неполном году величина платежа будет меньше: она будет равна сумме остатка долга на начало пятого года и начисленных на этот остаток процентов.

Представим план погашения долга в виде таблицы:

(руб.)

Величина платежа в пятом году (89453 руб.) получена следующим образом. Поскольку остаток долга на начало пятого года равен 74544 руб., то начисленные проценты на него равны 14909 руб. (20% от 74544 руб.), и поэтому платеж составит 74544 + 14909 = 89453 руб.

Пример 3.1.17. Кредитор заключил контракт, согласно которому должник обязуется выплатить 60 тыс. руб. за 5 лет равными суммами в конце каждого года, причем на непогашенный остаток будут по полугодиям начисляться сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 24%. По какой цене кредитор может продать этот контракт банку, который на ссуженные деньги начисляет ежеквартально сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 28%?

Решение. Вначале определяем величину каждого платежа, который должен делать должник в соответствии с контрактом Эти пять платежей образуют постоянный аннуитет постнумерандо, приведенная стоимость которого составляет 60 тыс. руб. Полагая тыс. руб., n = 5, m = 2, р = 1 и r = 24% , из формулы (123) находим величину платежа:

тыс. руб.

Таким образом, банку предлагается аннуитет сроком 5 лет и с членом А, равным 22,512 тыс. руб. Цена, по которой банк может приобрести этот аннуитет, определяется по формуле (123) при m = 4, r = 28%:

тыс. руб.