Типовые примеры и методы их решения

Пример 3.3.1. Работник заключает с фирмой пенсионный контракт на 12 лет, согласно которому на счет работника в банке в конце каждого двухлетнего периода будет поступать по 3 тыс. руб. Требуется определить наращенную сумму к концу действия контракта, если на поступающие суммы будут начисляться: а) ежегодно сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 24%; б) ежеквартально сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 24%; в) непрерывны, проценты с силой роста 24% за год.

Решение.Денежные поступления образуют постоянный аннуитет постнумерандо с А = 3 тыс. руб., сроком п = 12 лет и периодом и = 2 года. Следовательно, период аннуитета больше базового периода начисления процентов, равного году. Схематично это выглядит таким образом:

3 3 3 3 3 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t лет

а) В этом случае r = 24%, m = 1 и по формуле (146) получим:

тыс. руб.

б) Поскольку в этом случае начисление процентов ежеквартальное, то m = 4 и по формуле (146) получим:

тыс. руб.

в) Полагая , по формуле (149) находим:

тыс. руб.

Пример 3.3.2. Определите сумму, которую необходимо поместить на счет в банке, чтобы в течение 15 лет в конце каждого трехлетнего периода иметь возможность снимать со счета 8 тыс. руб., причем к концу срока полностью выбрать все деньги со счета, если на находящиеся на счете денежные суммы будут начисляться: а) ежегодно сложные проценты по ставке 20%; б) каждые полгода сложные проценты по ставке 20%; в) непрерывные проценты с силой роста 20%.

Решение. Во всех случаях надо определить приведенную стоимость постоянного аннуитета с А = 8 тыс. руб., периодом u = 3 года и сроком n = 15 лет.

а) Так как r =20%, то, применяя формулу (147) при m = 1, получим:

тыс. руб.

б) В этом случае m = 2, r = 20%, и поэтому из формулы (147) следует, что:

тыс. руб.

в) Поскольку в этом случае начисляются непрерывные проценты с силой роста = 0,2 , то по формуле (150) получим:

тыс. руб.

Пример 3.3.3. На счет в банке в начале каждого двухлетнего периода будет поступать по 8 тыс. руб. в течение 10 лет. Требуется определить: а) будущую стоимость аннуитета; б) приведенную стоимость аннуитета, если на поступающие суммы будут ежегодно начисляться декурсивные сложные проценты по ставке 22% годовых.

Решение. Согласно условию имеем аннуитет пренумерандо с членом А = 14 тыс. руб., периодом u = 2 года и сроком n = 10 лет. Сложная процентная ставка r = 22% годовых и число начислений процентов m = 1.

а) В соответствии с формулами (146) и (152) получим:

тыс. руб.

б) По формулам (147) и (153):

тыс. руб.

Пример 3.3.4. Предприниматель приобрел оборудование в кредит за 900 тыс. руб. под 25% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать долг нужно равными суммами в конце каждого второго года и им платить весь долг за 10 лет. Требуется определить величину каждого платежа и составить план погашения долга.

Решение.Обозначим через А величину каждого искомого платежа. Поток этих платежей представляет собой аннуитет постнумерандо, для которого руб., r = 25%, п = 10, m = 1, u = 2. Поэтому для нахождения величины А можно пользоваться формулой (147), из которой следует:

руб.

Теперь поясним составление плана погашения долга. Поскольку в течение первых двух лет предприниматель пользовался кредитом в размере 900000 руб., то платеж, который равен 567147 руб. и будет сделан в конце второго года, состоит из следующих двух частей: сложных процентов за два года в сумме 506250 руб. ( руб.) и погашаемой части долга в сумм 567147 - 506250 = 60897 руб. В следующем двухлетии расчет будет повторен при условии, что размер кредита, которым пользу предприниматель, составит уже меньшую сумму по сравнению с первыми двумя годами, а именно: 900000 - 60897 = 839103 руб. Таким образом, сложные проценты за два года будут равны 471995руб. ( руб.), а погашаемая часть долга будет равна 567147 – 471995 = 95152 руб. и т.д. Ясно, что с течением времени сумма уплачиваемых процентов снижается, а доля платежа в счет погашения долга возрастает.

План погашения долга представим в виде таблицы

Поскольку данные в ходе вычислений округлялись, величина процентов в последней строке найдена балансовым методом, т.е. вначале записываем погашенную часть долга 362972 руб., а затем определяем величину процентов за два года: 567147 – 362972 = 204175 руб. Если же непосредственно найти сложные проценты за два года от суммы в 362972 руб. исходя из процентной ставки 25%, то получим 204172 руб. Суммируя величины в пятом столбце, получим размер кредита: 900000 руб.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1