МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

ПОЛУЧЕНИЯ ФОРМУЛ ЧИСЛЕННОГО

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Другой способ построения формул численного дифференцирования – метод неопределенных коэффициентов.

Суть его заключается в следующем.

Искомое выражение для производной i-ого порядка в некоторой узловой точке x=x_k представляется в виде линейной комбинации заданных значений функции в узлах x₀, x₁, ..., x_n :

где С_j – некоторые пока не определенные коэффициенты.

Потребуем, чтобы эта формула была точна для полиномов возможно больших степеней n, то есть чтобы при подстановке в нее полиномов, например, вида

у=1; y=x–x_k; y=(x–x_k)²; y=(x–x_k)³ ;... ; y=(x–x_k)ⁿ ,

она обращалась в точное равенство:

Этим свойством обладают все формулы численного дифференцирования, в чем легко убедиться, подставляя поочередно полиномы вида у=1; y=x–x₁; y=(x–x₁)²

в формулу численного дифференцирования примера 2.

Полином 3-ей степени y=(x–x₁)³уже не дает точного равенства.

Таким образом, для нахождения коэффициентов С_j (j=0...n) некоторой формулы численного дифференцирования получаем систему из (n+1) линейных алгебраических уравнений.

Следующая задача – определение погрешности формулы численного дифференцирования R.

Это можно сделать, например, разложением в ряд Тейлора значений функции y(x) в точке x=x_i , но предлагаемый способ позволяет найти погрешность, продолжая процесс подстановки полиномов.

Основная идея заключается в том, что для степеней полиномов больших, чем n, формула численного дифференцирования возможно[1] будет уже неточной, то есть

Поэтому, найдя коэффициенты С_j, продолжаем подставлять полиномы более высоких степеней y=(x–x_k)^m, где m>n, и определять R. Первое, отличное от нуля, значение R и будет погрешностью формулы численного дифференцирования, правда, пока для конкретного полинома степени m, то есть .