ЭКОНОМИЗАЦИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ ПРИ ПОМОЩИ
ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА
Полиномы Чебышева определяются следующим образом:
где .
Иными словами,
(2.1)
Для вычисления полиномов Чебышева обычно используют рекуррентное соотношение, устанавливающее связь между Tn–1(x), Tn(x) и Tn+1(x):
Свойства полиномов Чебышева (рис.2.2):
Рис 2.2 Графики полиномов Чебышева |
1) область определения – отрезок xÎ [–1, 1];
2) коэффициент при старшей степени в Tn (x) равен 2n–1 ;
3) нули (корни) полиномов Чебышева определяются формулой
; (2.2)
они расположены неравномерно и сгущаются к концам отрезка;
4) координаты экстремумов
,
причем все максимумы равны 1, а минимумы равны –1;
5) из всех возможных полиномов степени n со старшим коэффициентом, равным 1, точная верхняя грань абсолютных значений на отрезке [–1, 1] наименьшая у полинома Tn(x)/2n–1.
Это основное свойство полиномов Чебышева, поэтому их называют полиномами, наименее отклоняющимися от нуля[3].
Действительно, рассмотрим полином (n–1)-ой степени
,
где Pn(x) – произвольный полином n-ой степени со старшим коэффициентом, равным 1. Допустим, что отклонение Pn(x) от нуля на [–1, 1] меньше, чем у Tn(x)/2n–1 . Это означает, что
,
где xk – координаты экстремумов полинома Tn(x):
Tn(xk)=(–1)k, k=0, 1,..., n.
Следовательно, полином jn–1(x)попеременно будет принимать положительные и отрицательные значения в (n+1)-ой точке, то есть он должен иметь по крайней мере n корней, что невозможно (это полином n–1-ой степени), кроме тривиального случая
.
На этом свойстве основывается экономизация степенных рядов.
Пусть дан отрезок степенного ряда функции
на отрезке [–1, 1] . Как уже отмечалось, ошибка для степенного ряда обычно велика на концах отрезка и мала в середине.
Выразим степени х через полиномы Чебышева:
и превратим отрезок степенного ряда в отрезок ряда по полиномам Чебышева:
Для широкого класса функций разложение по {Tn(x)} сходится много быстрее, чем по любой другой системе полиномов, так как bk убывают быстрее, чем ak.
Пример. Экономизировать отрезок степенного ряда
Подставляя вышеприведенные зависимости и приводя подобные члены, получаем
Отбросим в первом выражении последний член х5/5. Тогда погрешность приближения e1£ 1/5 = 0,2. Отбросим во втором выражении три последних члена. Тогда погрешность e2 £ 7/48 + 1/32 + 1/80 » 0,145+0,032+0,0125 » 0,189<0,2.
Таким образом, данную функцию можно представить полиномом 2-ой степени более точно
,
чем отрезком из 5 членов степенного ряда.
Чебышевское разложение снова можно превратить в многочлен по степеням x:
Ряд экономизирован.
Примечание. Ограничение области изменения переменной х отрезком [–1,1] не уменьшает общности. Степенной ряд относительно переменной x, заданной на отрезке a £ x £ b, легко превращается в ряд по переменной tÎ[–1, 1] заменой
(2.3)
Конец примечания.
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 895;