Определить коэффициенты А-формы записи уравнений четырехполюсника и убедиться, что результаты удовлетворяют соотношению AD-BC=1

5.2.1 Четырехполюсник, схема соединения элементов которого приведена на рис. 5.13, имеет параметры R=X_L=10 Ом, Х_С=20 Ом.

Определить коэффициенты А-формы записи уравнений четырехполюсника и убедиться, что результаты удовлетворяют соотношению AD-BC=1.

Расчет коэффициентов выполнить с помощью законов Кирхгофа и по входным сопротивлениям в режиме холостого хода и короткого замыкания.

Уравнения четырехполюсника в А-форме имеют вид:

1) Составим уравнения по законам Кирхгофа для рассматриваемой схемы.

Согласно первому закону Кирхгофа: .

По второму закону Кирхгофа составим уравнения для внешнего и правого контуров схемы:

;

.

Из второго уравнения выразим ток:

,

и подставим полученное выражение в уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа:

.

Сравнив полученное выражение с уравнением четырехполюсника, составленным для тока, можно определить коэффициенты и

Для определения коэффициентов А и В подставим выражение, полученное для тока в уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для внешнего контура:

Сравнив полученное выражение с уравнением четырехполюсника, составленным относительно напряжения, найдем коэффициенты:

Проверим выполнение соотношения между коэффициентами А-формы записи уравнений четырехполюсника:

AD – BC = (1 – j1)(–1) – (–10 – j20)(–j0,1) = –1 + j1 – j1+ 2 = 1,

что и требовалось доказать.

2) Рассчитаем коэффициенты по входным сопротивлениям в режиме холостого хода и короткого замыкания.

Рассчитаем входные сопротивления в режимах холостого хода и короткого замыкания при прямом включении четырехполюсника (рис.2.14, а, б):

,

Рассчитаем входные сопротивления в режимах холостого хода и короткого замыкания при обратном включении четырехполюсника (рис. 5.15, а, б):

По известным формулам рассчитаем значения коэффициентов:

B=A Z_2K=(1-j1)·(5-j15)=5-j5-j15-15= (-10-j20) Ом;

Результаты расчетов соответствуют значениям коэффициентов, полученным с помощью законов Кирхгофа.

5.2.2Четырехполюсник, схема которого приведена на рис. 5.16, имеет параметры:

R = X_L = 10 Ом, Х_С = 20 Ом. Определить коэффициенты А-формы записи уравнений четырехполюсника и убедиться, что результаты удовлетворяют соотношению AD – BC = 1.

Расчет коэффициентов выполнить с помощью законов Кирхгофа и по входным сопротивлениям в режиме холостого хода и короткого замыкания.

Уравнения четырехполюсника в А-форме имеют вид:

1) Составим уравнения по законам Кирхгофа для рассматриваемой схемы.

По первому закону Кирхгофа составим два уравнения

и

По второму закону Кирхгофа составим уравнение для внешнего контура схемы:

Так как напряжение на зажимах четвертой ветви рано входному напряжению четырехполюсника, а напряжение на пятой ветви равно – выходному, то по закону Ома можно выразить токи в ветвях:

и .

Выразим значение тока третьей ветви через выходные режимные параметры четырехполюсника, подставив выражение для тока в уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа . Полученное выражение подставим в уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа:

.

Сравнив полученное выражение с уравнением четырехполюсника, составленным относительно напряжения, найдем коэффициенты:

Можно записать, подставив одно в другое уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа .

Подставим в полученное уравнение значения токов четвертой и пятой ветвей и уже известное выражение для входного напряжения:

Сравнив полученное выражение с уравнением четырехполюсника, составленным относительно входного тока, найдем коэффициенты:

Проверим выполнение соотношения между коэффициентами А-формы записи уравнений четырехполюсника:

AD-BC=(1+j0,5)·(1-j1)-10·(0,05-j0,05)=1-j1+j0,5+0,5-0,5+j0,5=1.

2) Рассчитаем коэффициенты по входным сопротивлениям в режиме холостого хода и короткого замыкания.

Рассчитаем входные сопротивления в режимах холостого хода и короткого замыкания при прямом включении четырехполюсника (рис. 5.17, а и б).

Рассчитаем входные сопротивления в режимах холостого хода и короткого замыкания при обратном включении четырехполюсника (рис. 5.18, а и б).

По известным формулам рассчитаем значения коэффициентов уравнений А-формы записи:

B = A Z_2K = (1 + j0,5)·(8 – j4) = 8 + j4 – j4 + 2 = 10 Ом;

Результаты расчетов соответствуют значениям коэффициентов, полученным с помощью законов Кирхгофа.

5.2.3 Несимметричный четырехполюсник имеет параметры А = 1; В = 2,83е^j45° Ом; С = j0,5 См; D = j1. Найти характеристические сопротивления четырехполюсника и постоянную передачи.

Найдем характеристические сопротивления:

Отрицательные значения комплексного сопротивления не имеют физического смысла, так как они не реализуемы.

Определим постоянную передачи:

где коэффициент затухания , а коэффициент фазы или

5.2.4 Для четырехполюсника, эквивалентная схема которого приведена на рис. 5.19, составить уравнения, выражающие зависимость комплексных напряжения входной ветви и тока выходной ветви от комплексных тока входной ветви и напряжения выходной ветви.

Параметры элементов цепи: Z₀=12 Ом, Z₂=6 Ом, Z₁=(4+j3) Ом.

Искомую зависимость выражают уравнения четырехполюсника Н-типа:

Коэффициенты Н₁₁, Н₁₂, Н₂₁ и Н₂₂ можно определить на основе рассмотрения исходной схемы сначала при разомкнутых первичных зажимах, а затем при короткозамкнутых вторичных полюсах с одновременным анализом уравнений Н-формы записи, соответствующим этим состояниям.

При разомкнутых первичных зажимах = 0 и система уравнений примет вид:

откуда запишем

Для рассматриваемого режима:

, ,

и тогда можно определить коэффициенты:

При короткозамкнутых вторичных полюсах =0 система уравнений примет вид:

откуда запишем

Для рассматриваемого режима:

, .

Тогда можно определить коэффициенты:

5.2.5 Выразить Z параметры взаимного четырехполюсника через сопротивления его Т-схемы замещения (рис. 5.20).

Система уравнений четырехполюсника в Z-форме записи имеет вид:

Запишем уравнения по законам Кирхгофа, связывающие напряжения четырехполюсника с входным и выходным токами, одновременно проводя анализ уравнений z-формы:

где – ток в поперечной ветви;

Сравнив выражение, полученное для входного напряжения четырехполюсника с первым уравнением Z- формы, можно определить коэффициенты:

Относительно выходного напряжения запишем:

Сравнив полученное уравнение со вторым уравнением системы уравнений в z-форме, определим коэффициенты:

Из полученных значений видно, что для взаимного четырехполюсника равны коэффициенты

5.2.6 При питании четырехполюсника со стороны первичных зажимов были измерены U₁, I₁, P₁в двух режимах:

а) холостого хода U_1X = 100 B; I_1X = 1 A; P_1X = 0; б) в режиме короткого замыкания U_1К = 100 B; I_1К = 1,41 A; P_1К = 100 Вт. В обоих случаях характер сопротивлений емкостный.

При обратном включении четырехполюсника при закороченных первичных зажимах были измерены U_2К = 100 B; I_2К = 1 A; P_2К = 100 Вт. Известно, что Z_1K/Z_2K = Z_1X/Z_2X. Рассчитать сопротивления прямого, обратного холостого хода и короткого замыкания. Определить по ним Z-параметры четырехполюсника.

При прямом включении четырехполюсника входные сопротивления для режимов холостого хода и короткого замыкания по показаниям измерительных приборов определяются:

,

где так как, согласно исходным данным, нагрузка носит чисто емкостный характер (Р_1Х=0);

,

где ,

так как известно, что характер сопротивлений емкостный.

,

где .

Сопротивление Z_2K найдем из соотношения Z_1K/Z_2K = Z_1X/Z_2X:

Уравнения четырехполюсника в Z-форме записи имеют вид:

Для режима холостого хода при прямом = 0 и обратном = 0 включении четырехполюсника запишем:

тогда

тогда

Для режима короткого замыкания на вторичных зажимах четырехполюсника ( ) запишем:

Выразим из второго уравнения ток на выходе четырехполюсника, и подставим полученное выражение в первое уравнение:

, тогда .

Сопротивление короткого замыкания со стороны первичных зажимов:

.

Отсюда рассчитаем коэффициенты:

5.2.7 Для симметричного четырехполюсника, работающего в режиме холостого хода, на рис. 5.21 задана векторная диаграмма токов и напряжений. Определить А-параметры четырехполюсника. Действующие значения тока и напряжений: U_1Х = 100 В; U_2Х = 200 В; I_1Х = 2,5 А.

Запишем уравнения четырехполюсника А-формы для режима холостого хода ( ):

Действующие значения тока и напряжений на зажимах четырехполюсника в режиме холостого хода заданы, а их начальные фазы можно определить по векторной диаграмме. Тогда уравнения четырехполюсника запишутся, как

Отсюда коэффициенты А = 0,5, С = –j0,0125 1/Ом.

Для симметричного четырехполюсника D = A = 0,5.

Из соотношения, связывающего коэффициенты А-формы AD – BC = 1 определим коэффициент В:

5.2.8 Для ослабления сигнала в нагрузке между нагрузкой и источником питания включен симметричный четырехполюсник. Вычислить параметры Т-схемы замещения, если он нагружен на согласованное сопротивление Z_H = Z_C = 200 Ом, а сигнал нужно ослабить на 0,5 Нп без его задержки во времени.

Параметры Т-схемы замещения легко получить через значения коэффициентов А-формы записи уравнений:

тогда

Определим коэффициенты А-формы, составив уравнения:

A = D, так как четырехполюсник симметричный;

е^(a+jb) = =e^0,5, так как сигнал передается без задержки во времени, то коэффициент фазы b = 0; A² – BC = 1.

Составим систему уравнений с тремя неизвестными коэффициентами:

Решаем систему уравнений и находим коэффициенты:

А = 1,128; C = 0,0026 1/Ом; B = 10,2 Ом.

По рассчитанным значениям коэффициентов определим параметры симметричной Т-схемы замещения:

Как видно по значениям полученных комплексных сопротивлений схема рассматриваемого четырехполюсника реализована на активных сопротивлениях.

5.2.9 Определить параметры П-схемы замещения симметричного четырехполюсника, нагруженного на характеристическое сопротивление Z_H = Z_C = 500 Ом, с помощью которого осуществляется задержка синусоидального сигнала на четверть периода без его ослабления.

Параметры П-схемы замещения легко получить через значения коэффициентов А-формы записи уравнений:

откуда

Определим коэффициенты А-формы, составив уравнения:

A = D, так как четырехполюсник симметричный;

е^(a+jb) = =e^j90°, так как сигнал передается без ослабления, то коэффициент затухания a = 0; так как задержка во времени составляет четверть периода, то коэффициент фазы b=90°; A² – BC = 1.

Составим систему уравнений:

Решив эту систему уравнений найдем значения коэффициентов А = 0; В = j500 Ом; С = j0,002 1/Ом.

По рассчитанным значениям коэффициентов определим параметры симметричной П-схемы замещения:

Как видно по значениям полученных комплексных сопротивлений схема рассматриваемого четырехполюсника реализована полностью на чисто реактивных элементах. В последовательной ветви включена идеальная индуктивная катушка, а в продольных ветвях конденсаторы.

5.2.10Определить параметры полосового фильтра, имеющего Т-образную схему (рис. 5.22), нагруженного на характеристическое сопротивление при резонансной частоте. Нижняя граница полосы пропускания f₁ = 750 Гц, верхняя граница полосы пропускания f₂ = 850 Гц.

Резонансная частота Гц.

Параметры Т-образной схемы: