Интегрирование уравнений методом Эйлера

Пусть задано уравнение на с начальными условиями . Разделим отрезок точками , , ,… , на равных частей . Обозначим

, .

Пусть приближенное решение уравнения, в котором , , …, .

Обозначим , , … . В каждой точке , , … заменим производную отношением конечных разностей

, .

При

, , , ;

при

, ,

;

при

, ,

;

…

при

, ,

;

…

при

, ,

.

Соединяя на координатной плоскости точки , , … отрезками прямой, получим ломаную линию Эйлера. Известно доказательство [ 5 ] следующего утверждения: если существует единственное решение , удовлетворяющее начальным условиям на , то

, .

Для повышения точности интегрирования, метод Эйлера используют совместно с формулой Тейлора (разложения функции в ряд). Этот прием называют методом Адамса [ 5 ].

В качестве примера рассмотрим решение интегро-дифференциального уравнения (методом Эйлера), составленного для последовательного колебательного контура рис. а.3

,

со следующими начальными условиями , , и правой частью, определяемой следующим выражением .

Продифференцируем левую и правую части уравнения и получим следующее уравнение

.

Перенесем коэффициент при старшей производной из левой части в правую часть и получим следующее уравнение

.

Представим уравнение в виде следующего разностного уравнения

.

Преобразуем разностное уравнение следующим образом

,

.

Выделим из уравнения состояние тока в момент времени зависящее от предыдущих состояний ,

.

Вычисления начинаются с начальными условиями , .

Процедура интегрирования уравнения , средствами пакета MathCad, представлена на рис. 3.5.

Рис. 3.5 – MathCAD. Процедура интегрирования

Результат интегрирования, при значениях , , , , и входном сигнале , представлен на рис. 3.6.

Рис. 3.6 – MathCAD. Результаты интегрирования