Указания по выполнению практических заданий

Прежде чем приступит к выполнению практических заданий, рекомендуется ознакомиться с соответствующей темой из теоретического раздела и разобранными примерами решения типовых задач.

Требования к математической подготовке читателя ограничиваются обычными курсами математического анализа и теории вероятностей.

Тема 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики

Задача 1.1.Контрольная работа по теории вероятностей состоит из трех заданий. Первое задание оценивается на 6 баллов, второе на 10 баллов и последнее – 4 балла. Вероятность того, что студент специальности ПИвЭ решит правильно первое задание, равна ; второе – ; третье – . Какова вероятность того, что средний балл за контрольную работу в потоке из 60 человек будет меньше 13?

Решение.

Случайная величина – количество баллов, полученных за контрольную работу студентом специальности ПИвЭ. – последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин. Составим ряд распределения этой случайной величины и найдем ее числовые характеристики – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение .

;

;

;

;

;

;

.

	0,02	0,18	0,03	0,29	0,18	0,03	0,27

;

.

Используя центральную предельную теорему, найдем вероятность того, что средний балл за контрольную работу в потоке будет меньше 13.

Задача 1.2.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,002. Цель уничтожается при условии двух и более попаданий. Найти вероятность уничтожения цели, если произведено 1000 независимых выстрелов.

Решение.

Поскольку число испытаний (количество независимых выстрелов) достаточно велико, вероятность успеха (попадание в цель) достаточно мала ( ), то для вычисления вероятности хотя бы двух попаданий в цель воспользуемся приближенной формулой Пуассона:

.

Тогда имеем

Задача 1. 3.Среди клиентов банка 80% являются физическими лицами и 20% – юридическими. Из практики известно, что 40% всех операций приходится на долгосрочные расчеты, в то же время из общего числа операций, связанных с физическими лицами, 30% приходится на долгосрочные расчеты. Какова вероятность того, что наудачу выбранный клиент является юридическим лицом и осуществляет долгосрочный расчет?

Решение.

Рассмотрим следующие события {клиент является физическим лицом}, {клиент осуществляет долгосрочный расчет}. Тогда — интересующее нас событие. При этом по условию , , и . Очевидно, что , следовательно,

Задача 1.4.Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения случайной величины – числа возвращенных в срок кредитов из 3 выданных. Найти вероятность .

Решение.

В данном случае мы имеем дело с биномиальным законом с и . Случайная величина – число возвращенных в срок кредитов из трех выданных принимает значения: , , и . Соответствующие им вероятности , , и найдем, воспользовавшись формулой Бернулли: :

;

;

.

Ряд распределения случайной величины имеет вид:

.

Задача 1.5. Негосударственный пенсионный фонд начисляет по пенсионным счетам годовых. 1 января 2010 года вкладчик перечислил руб. Какие проценты будут начислены на эту сумму к 31 декабря 2016 года?

Решение.

С 1 января 2010 года до 31 декабря 2016 года пройдет лет. По основной формуле сложных процентов к 31 декабря 2016 года на пенсионном счете будет накоплена сумма

.

Поэтому проценты составляют

руб.

Задача 1.6. Вкладчик внес на счет руб. Банк гарантирует, что на протяжении трех ближайших лет эффективная годовая процентная ставка будет равна . Через три года банк установит процентную ставку на следующие три года. Известно, что новая ставка не выйдет за пределы промежутка . Что можно сказать о сумме, которая будет накоплена за шесть лет?

Решение.

По основной формуле сложных процентов искомое накопление есть

.

Величина не выйдет за пределы отрезка . Поэтому можно гарантировать, что .

Задача 1.7. Пенсионный фонд должен выплатить участнику:

1. 5000 руб. 1 июля 2009 года;

2. 3000 руб. 1 марта 2012 года;

3. 2000 руб. 1 октября 2013 года;

4. 8000 руб. 1 апреля 2015 года.

Найдите величину обязательств фонда по отношению к этому участнику на 1 января 2008 года. Техническая процентная ставка, используемая фондом для оценки своих обязательств, равна .

Решение.

Пусть время измеряется в годах, начиная с 1 января 2008 года, а один месяц равен года. Тогда

1. 1 июля 2009 года – это момент ;

2. 1 марта 2012 года – это момент ;

3. 1 октября 2013 года – это момент ;

4. 1 апреля 2015 года – это момент .

Коэффициент дисконтирования дается формулой

,

поэтому величина обязательств фонда на 1 января 2008 года равна:

руб.

Задача 1.8. Эксперты негосударственного пенсионного фонда предполагают, что на протяжении ближайших пяти лет эффективная годовая процентная ставка будет равна . На протяжении следующего пятилетия ожидается годовая процентная ставка . Человек покупает десятилетнюю ренту с выплатой в конце каждого года 1000 руб. Подсчитайте ее стоимость.

Решение.

Приведенная ценность в настоящий момент пяти годовых платежей в моменты 1, 2, 3, 4, 5 равна

,

где символ указывает эффективную годовую процентную ставку на промежутке, который рассматривается в качестве единичного, т.е.

руб.

Приведенная ценность в момент пяти годовых платежей в моменты 6, 7, 8, 9, 10 равна

руб.

Чтобы привести эту сумму к моменту , умножим ее на , что даст руб. Итак, стоимость ренты есть 3791 руб.+2616 руб.=6407 руб.