Приближенный расчет вероятности разорения
Обычно число застрахованных в страховой компании очень велико. Поэтому подсчет вероятности разорения предполагает расчет функции распределения суммы большого числа слагаемых. В этом случае применение ЭВМ может привести к проблемам, связанным с малостью вероятностей. Однако обстоятельство, затрудняющее точный расчет, открывает возможность быстрого и простого приближенного расчета. Это связано с тем, что при росте вероятность часто имеет определенный предел (обычно нужно, чтобы определенным образом менялось вместе с ), который можно применять в качестве приближенного значения искомой вероятности. Точность подобных приближений обычно очень велика и удовлетворяет практические потребности. Основным является нормальное (или гауссовское) приближение.
Гауссовское приближение основано на центральной предельной теореме теории вероятностей. В простейшей формулировке эта теория выглядит следующим образом:
если случайные величин независимы и одинаково распределены со средним и дисперсией , то при функция распределения центрированной и нормированной суммы
имеет предел, равный
Поэтому, если число слагаемых велико, то можно написать приближенное равенство:
или, что то же самое,
Существуют многочисленные обобщения центральной теоремы на случаи, когда слагаемые , имеют разные распределения, являются зависимыми и т.д. Детальное обсуждение этого вопроса увело бы нас слишком далеко в сторону от изучаемого предмета. Поэтому мы ограничимся утверждением, что если число слагаемых велико (обычно достаточно, чтобы имело бы порядок нескольких десятков), а слагаемые не очень малы, то применимо гауссовское приближение для нахождения вероятности
Конечно, это утверждение очень неопределенно, но и классическая центральная предельная теорема без точных оценок погрешности не дает ясного указания на сферу применения.
Функция при росте от до возрастает от 0 до 1 и непрерывна. Поэтому она может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины . Это распределение называется гауссовским, или нормальным. Оно не зависит от каких-либо параметров и детально изучено в теории вероятностей. Существуют подробные таблицы как для функции распределения , так и для плотности.
Значения в наиболее интересном диапазоне приведены в следующей таблице:
1.0 | 15.87% | 2.0 | 2.28% | 3.0 | 0.135% |
1.1 | 13.57% | 2.1 | 1.79% | 3.1 | 0.097% |
1.2 | 11.51% | 2.2 | 1.39% | 3.2 | 0.069% |
1.3 | 9.68% | 2.3 | 1.07% | 3.3 | 0.048% |
1.4 | 8.08% | 2.4 | 0.82% | 3.4 | 0.034% |
1.5 | 6.68% | 2.5 | 0.62% | 3.5 | 0.023% |
1.6 | 5.48% | 2.6 | 0.47% | 3.6 | 0.020% |
1.7 | 4.46% | 2.7 | 0.35% | 3.7 | 0.011% |
1.8 | 3.59% | 2.8 | 0.26% | 3.8 | 0.007% |
1.9 | 2.87% | 2.9 | 0.19% | 3.9 | 0.005% |
Полезно также иметь таблицу квантилей , отвечающих достаточно малой вероятности разорения :
1% | 2% | 3% | 4% | 5% | |
2.33 | 2.05 | 1.88 | 1.75 | 1.645 |
Дата добавления: 2020-10-14; просмотров: 391;