Напруження при центральному розтяганні – стисканні

Розглянемо розтягання прямолінійного стержня довільного поперечного перерізу під дією двох рівних по величині та протилежно спрямованих сил (рис. 1.3 а). У довільному місці стержня уявно проведемо поперечний переріз, відкинемо праву частину, дію відкинутої частини на ту, що залишилася, замінимо внутрішнім зусиллям , що з рівняння статичної рівноваги визначиться як (рис. 1.3 б). Поздовжня сила є рівнодіючою (результуючою) внутрішніх зусиль, які довільним образом розподілені по точках перерізу , та нормальні до нього. Тобто при центральному розтяганні - стисканні у поперечному перерізі виникає тількинормальне напруження (рис. 1.3 в).

Рисунок 1.3

Очевидно, що на елементарну площадку діє елементарна поздовжня сила . Звідси одержуємо рівняння в інтегральному вигляді:

. (1.1)

Вирішити це рівняння неможливо, тому що невідомий закон розподілу по перерізу напруження .

Щоб описати закон розподілу напружень по поперечному перерізу, звернемося до досліду. Як показують експерименти, при центральному розтяганні – стисканні однакові подовжні відрізки і стержня одержують однакові подовження (рис. 1.3 г): . Лінії на бічній поверхні стержня, що являють собою сліди поперечних перерізів, рівнобіжні до деформування, залишаються рівнобіжними й у процесі деформування: ab || a₁b₁ і cd || c₁d₁.

Це дозволяє вважати, що при центральному розтяганні – стисканні виконується гіпотеза плоских перерізів: переріз плоский та нормальний до осі (поперечний переріз) до деформації залишається плоским та нормальним до осі в процесі деформації, тобто переміщуючись, переріз залишається паралельним (рівнобіжним) самому собі. Якщо уявити модель стержня, що складається з окремих подовжніх волокон, то при розтяганні кожне волокно подовжується на одну і ту ж величину. Отже, у кожному подовжньому волокні діє однакове зусилля. Цей висновок дозволяє вважати, що при центральному розтяганні − стисканні нормальне напруження по поперечному перерізу розподіляється рівномірно, тобто .

Тоді з рівняння (1.1) маємо: , звідси нормальне напруження для всіх точок перерізу при центральному розтяганні – стисканні буде однаковим, і визначиться формулою

. (1.2)

У розглянутому випадку напруження залишаються постійними як по перерізу, так і по довжині(якщо повздовжня сила та площа поперечного перерізу постійні), тобто по всьому обсягу стержня. Такий напружений стан називається однорідним.

Максимальні розрахункові нормальні напруження, обчислені за формулою (1.2), повинні зіставлятися з гранично допустимими напруженнями для матеріалу стержня, що забезпечують безпечну експлуатацію. Ці напруження називаютьсядопустимими напруженнями .

Сформулюємо умову міцності при центральному розтяганні – стисканні, яка повинна виконуватись в кожній точці поперечних перерізів даного стержня:

. (1.3)

Для матеріалів, що мають неоднакові характеристики при розтяганні та стисканні, умова міцності (1.3) набуває вигляд:

(1.4)

де та – найбільші нормальні напруження при розтяганні та стисканні відповідно.

Переріз стержня, у якому виникає найбільше нормальне напруження, є небезпечним.

Напруження, що допускається (допустиме напруження) , визначається як небезпечне напруження для даного матеріалу , поділене на нормативний коефіцієнт запасу , тобто . Для пластичних матеріалів за небезпечне напруження приймається границя текучості , а для крихких – тимчасовий опір .