Приближённые методы решения СЛАУ

А) Метод простых итераций.(Метод последовательных приближений).

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

или где - заданные числа; .

Задаются произвольно n-чисел – нулевое приближение искомой функции.

Далее подставляем в правую часть системы (1) нулевое приближение и находим первое приближение.

, (2)

Затем по 1-ому приближению находят 2-ое, 3-е и т.д.

В результате для k-ого приближения получаем формулу:

, (2’)

Таким образом мы получили последовательность векторов

Х⁽⁰⁾,Х⁽¹⁾,…, Х^(К), к=1,2,…

Если любая из таких последовательностей {Х_i^(к)} сходится некоторому пределу x_i^k = c_i , ,то данный вектор с_i, является решением сист. (1)

В равенстве (2’) перейдем к пределу при k→∞ при замене х_i на с_i.

Теорема(достаточные условия сходимости простой итерации):

Пусть выполняется хотя бы одно из следующих условий (нормы матрицы):

а) Если максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по строкам) меньше 1:

б) Если максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по столбцам) меньше 1:

в) Если сумма всех элементов в квадрате меньше 1.

Если выполняется хотя бы одно, тогда справедливы утверждения:

1)система (1) имеет единственное решение (С₁,... С_n);

2)последовательность , где i = определяется по формуле (2), при любом начальном приближении сходится к соответствующим компонентам точного решения. i =

3)для приближенного равенства верны оценки (x₁^(k),…x_n^(k)) (C_1,…C_n),

а’) есливыполняется условие а), то

,

б’) если выполняется условие б), то

,

в’) если выполняется условие в), то

.

Замечания:

1)Если нет никакой информации о точном решении СЛАУ, то за начальное приближение выбираем столбец свободных коэффициентов. (из приведенной матрицы);

2)остановка вычислений производной по заданной величине абсолютной погрешности и приведенным в теореме оценкам.

Б) Метод Зейделя.

Этот метод является модификацией МПИ и заключается в том, что при вычислении (к+1) приближения неизвестного х_i (i>1), используются уже вычисленные ранее (к+1) приближения неизвестных х₁, х₂,…, х_i-1

Рассмотрим систему: i=1,n

Пусть матрица α удовлетворяет одному из условий теоремы:

Если, а) <1 (коэффициенты по строкам)

б) <1 (коэффициенты по столбцам)

в) <1 (все коэффициенты)

тогда общая формула метода Зейделя имеет вид:

к=1,2…

Замечание: метод Зейделя обычно, но не всегда сходится к точному решения быстрее, чем МПИ

Лекция 2.