Комбинированный метод (хорд и касательных).
Методы хорд и касательных дают приближения корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом, и уточнение корня происходит быстрее.
Пусть дано уравнение f(x)=0, корень ξ отделён и находится на отрезке [a,b]. Применим комбинированный метод хорд и касательных с учётом типа графика функции (рис.4).
Если f (x)·f ″(x) < 0 (рис.4 в, г), то методом хорд получаем значение корня с избытком, а методом касательных – с недостатком.
Если f (x)·f ″(x) > 0 (рис.4 а, б), то метод хорд даёт приближение корня с недостатком, а метод касательных – с избытком.
Рассмотрим случай, когда f (b) < 0, f ″(x) > 0 (рис.8), то со стороны конца а лежат приближённые значения корня, полученные по методу касательных, а со стороны конца b – значения, полученные по методу хорд.
Рис.8Иллюстрация комбинированного метода.
Тогда , .
Теперь истинный корень ξ находится на интервале [a1,b1]. Применяя к этому интервалу комбинированный метод, получаем
,
и вообще
, . (5)
Для случая, когда f (b)·f ″(x) > 0, то рассуждая аналогично, получим следующие формулы для уточнения корня уравнения:
, . (6)
Комбинированный метод очень удобен при оценке погрешности вычислений. Процесс вычислений прекращается, как только станет выполняться неравенство
|bn+1–an+1| < ε.
Корень уравнения есть среднее арифметическое последних полученных значений: ξ=(an+1+bn+1)/2
Лекция 5.
Приближённое решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пусть функция у = f(x,y) отражает количественную сторону некоторого явления. Рассматривая это явление, мы можем установить характер зависимости между величинами х и у, а также производными от у по х, т.е. написать дифференциальное уравнение.
Определение: Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y=f(x) и её производные.
Запись: F( x, y, y′, y′′,…, y(n)) = 0 или .
Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
у′-2ху3+5=0----- уравнение первого порядка,
у″+ky′-by-sinx=0------ уравнение второго порядка.
Задача Коши (для уравнения первого порядка):
у′ = f(x, y) (1) найти решение y = y(x),
удовлетворяющее начальному условию: у(х0)=у0. (1*).
Т.е. найти интегральную кривую, проходящую через точку М(х0, у0).
Если f(x,y) непрерывна в области R: |x-x0| < a, |y-y0| < b, то существует по меньшей мере одно решение у = у(х), определённое в некоторой окрестности: |х-х0| < h, где h ― положительное число. Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица: (2)
Где N― постоянная (константа Липшица), зависящая в общем случае от a и b. Если f(x,y) имеет ограниченную производную в R, то можно положить:
Для дифференциального уравнения n-го порядка: у(n)=f(x,y,y′,…,y(n-1)) задача Коши состоит в нахождении решения у = у(х), удовлетворяющего начальным условиям:
у(х0) = у0, у′(х0) = у′0, …, у(n-1)(x0) = y(n-1)0 ― заданные числа.
Функция у = f(x, C1, C2,…, Cn), где С1,…, Сn― произвольные постоянные, называется общим решением ОДУ или общим интегралом.
Эти постоянные можно определить с помощью начальных условий. Решение ДУ при заданных начальных условиях называется его частным решением.
Определение: задача называется краевой, если указывается интервал интегрирования [a,b] и ставятся дополнительные условия для значений функции у и её производных на концах этого интервала.
Процесс познания закономерностей и стремление создать детальную картину исследуемых явлений приводит к более сложной количественной оценке, отражающей эти явления, а именно к функции многих переменных, зависящих как от пространственных координат, так и от времени u = f(x1, x2,…, xn, t).
Определение: Дифференциальным уравнением с частными производными называется уравнение, связывающее независимую переменные х1, х2, …, хn, t, искомую функцию
u = f (х1, х2, …, хn, t) и её частные производные:
.
Постановка задачи.
Дано дифференциальное уравнение первого порядка: у′ = f(x,y) (1).
Требуется найти решение этого уравнения на отрезке [x0, xmax], удовлетворяющее начальным условиям: у(х0) = у0 (2).
В вычислительной практике более предпочтительным являются численные методы нахождения приближённого решения в фиксированных точках: х0<x1<…<xn=xmax.
Большинство численных методов решения задачи (1) с начальными условиями (2) можно привести к виду: (3).
― при r = 1, а1 = 1, b0 = 0 методы вида (3) называются одношаговыми ( чтобы найти yi+1
требуется информация только о предыдущей точке (xi, yi)).
― при r > 1 и b0 = 0 ― явными многошаговыми.
― при r > 1 и b0 ≠ 0 ― неявными многошаговыми.
Многошаговость нарушает однородность вычислительного процесса, используя для получения недостающей информации другие вычислительные схемы ( например, одношаговые).
А) Метод Эйлера.
х | x0 | x1 | … | хn |
y | y0 | y1 | … | yn |
Для решение Д.У.(1) с Н.У. (2) на отрезке [x0, xmax] по методу Эйлера, таблица приближённых значений у(х) для равноотстоящих узлов:
строится по формулам: yk+1 = yk + h∙f(xk,yk)
xk+1 = xk + h, k = 0,…,n-1, h=(xn-x0)/n (4)
Абсолютная погрешность формулы (4) на каждом шаге имеет порядок h2
(5)
Формула (4) означает, что на отрезке [xk, xk+1] интегральная кривая y = y(x) приближённо заменяется прямолинейным отрезком, выходящим из точки М(хk;уk) с угловым коэффициентом f(хk;уk). В качестве приближения искомой интегральной кривой получаем ломаную линию с вершинами в точках М0(х0;у0), М1(х1;у1),…, Мn(хn;уn). Первое звено касается истинной интегральной кривой в точке М0(х0;у0).
Метод Эйлера может быть применён к решению системы ОДУ и ДУ высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе ОДУ первого порядка.
Пусть задана система ОДУ первого порядка: (6)
с начальными условиями: у(х0) = у0, z(х0) = z0 (7)
Приближённые значения у(хi) ≈ yi, z(хi) ≈ zi вычисляются по формулам:
(8)
Метод Эйлера обладает двумя существенными недостатками:
1) малой точностью (метод первого порядка точности);
2) систематическое накопление ошибок.
В) Модификации метода Эйлера.
1ый усовершенствованный метод Эйлера.
Сначала вычисляют промежуточные значения:
(9)
А затем полагают: (10)
2oй усовершенствованный метод Эйлера.
Сначала определяют «грубые приближения»: (11)
И приближённо полагают: (12)
Локальная погрешность на i-ом шаге: . Оценка погрешности в точке хn может быть получена с помощью двойного просчёта (с шагом h и h/2):
(13)
С.) Метод Рунге-Кутта. (4го порядка)
Наиболее знаменитым из методов Рунге-Кутта является классический метод 4го порядка
(15)
(14)
Грубая оценка погрешности (двойной просчёт): (16)
Где у(хi) – точное решение, у*i – приближённое решение с шагом h/2, yi – … с шагом h .
Для оценки правильности выбора шага h используют равенство:
(17)
q должно равняться нескольким сотым, иначе h уменьшается.
D). Метод Рунге–Кутта 3-го порядка
Дата добавления: 2020-10-14; просмотров: 820;