Метод Ньютона (касательных).

Пусть на отрезке [a,b] функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производные f ′(x) и f ″(x) сохраняют постоянный знак на интервале (a,b).

Геометрический смысл метода касательных состоит в том, что дуга кривой

y = f(x) заменяется касательной к этой кривой.

Рис.7.Иллюстрация метода касательных.

Выберем в качестве начального приближения х₀ = a и проведём в точке А₀(a,f(a)) касательную к графику функции f(x). Абсцисса пересечения касательной с осью Ох (у = 0) является первым приближением к корню (рси.7):

или х₀ = .

Через точку А₁(х₁;f(x₁)) снова проведём касательную, абсцисса точки пересечения которой даст второе приближение х₂ корня ξ и т.д. Очевидно, что в точке А_n(x_n;f(x_n)):

y − f(x_n) = f ′(x_n)(x−x_n)

и алгоритм метода Ньютона запишется так:

(4)

Заметим, что в нашем случае, если положить х₀ = b и провести касательную к кривой у = f(x) в точке b, то первое приближение не принадлежит отрезку [a,b].

Таким образом, в качестве начального приближения х₀ выбирается тот конец интервала [a,b], для которого знаки f(x) и f ″(x) одинаковы.

Условие окончания вычислений: │с_n+1 − c_n│< ε или │f(c_n)│< ε₁.

Для оценки погрешности можно пользоваться общей формулой

, где