РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ


 

Резонансомв электрической цепиили на участке цепи, содержащей конденсаторы и катушки индуктивности, называется явление, при котором гармонические напряжение и ток на входе цепи совпадают по фазе. Существует два вида резонанса: резонанс напряжений в цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки индуктивности; и резонанс токов в цепи с параллельным соединением двух ветвей, в одной из которых кроме прочих элементов имеется катушка индуктивности, а в другой – конденсатор. Цепь, в которой наблюдается резонанс напряжений, называется последовательным колебательным контуром. Цепь, в которой наблюдается резонанс токов, называется параллельным колебательным контуром.

Рассмотрим последовательный колебательный контур – участок цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора. Ко входу цепи (рис. 5.1) подключен источник гармонического напряжения U1(t) = Umsint). Запишем второй закон Кирхгофа в комплексной форме для действующих значений напряжений.

Рис. 5.1. Схема последовательного контура

 

 

(5.1)

 

Пусть .

Уравнение (5.1) позволяет определить токи и напряжения на элементах цепи:

 

(5.2)

 

где xL = ωL;

xC = 1/(ωC);

X – суммарное реактивное сопротивление ветви;

– комплексное сопротивление ветви;

Z – модуль;

j – аргумент сопротивления.

Из (5.2) можно определить действующее значение тока и его фазу:

 

 

Условием резонанса напряжений является равенство реактивных сопротивлений xL = xC , ωL = 1/(ωC) или X = 0. При этом условии определяется резонансная частота

 

(5.3)

 

На рис. 5.2 показана векторная диаграмма напряжений последовательного контура в режиме резонанса. В этом режиме входной ток достигает максимального значения и его действующее значение составляет Если R является активным сопротивлением проводов катушки, то мощность P = I2R учитывает активные потери мощности в ней. Потери мощности в конденсаторе для низких и средних частот составляют малую величину и в его схеме замещения не учитываются. Действующие значения напряжений на реактивных элементах L и C в режиме резонанса могут значительно превышать входное напряжение:

(5.4)

 

где характеристическое сопротивление контура:

 

(5.5)

 

 

Рис. 5.2. Векторные диаграммы напряжений последовательного контура

 

Отношение Q = ρ/R называется добротностью контура, которая может достигать десятков и даже сотен единиц.

При анализе свойств контура используются частотные характеристики входного сопротивления входного тока а также комплексные передаточные функции для напряжения на катушке индуктивности:

 

 

и напряжения на конденсаторе:

 

 

С целью оценки свойств электрических цепей используют понятие полосы пропускания (П). Полосой пропускания контура называют диапазон частот, в котором АЧХ изменяется не более чем в раз по сравнению с ее экстремальным (минимальным или максимальным) значением, что соответствует на ЛАЧХ изменению характеристики на 3 дБ.

Из (5.2) получаем частотные характеристики для последовательного колебательного конура.

Зависимости модуля и аргумента комплексного входного сопротивления от частоты:

 

 

(5.6)

 

На рис. 5.3 представлены частотные характеристики модуля и аргумента входного сопротивления контура, рассчитанные по формулам (5.6) для двух значений добротности Q. На графиках видно, что входное сопротивление достигает минимального значения при резонансной частоте ZВХ = R и максимального – при частотах ω → 0 и ω → ∞.

а б
Рис. 5.3. АЧХ и ФЧХ входного сопротивления последовательного колебательного контура

 

Характер входного сопротивления в диапазоне частот 0ω ω0 является емкостным, а в диапазоне ω0 ω ≤ ∞ – индуктивным.

 

и (5.7)

 

 

На рис. 5.4 изображены зависимости действующего значения входного тока и его фазы от частоты, рассчитанные по формулам (5.7) для различных значений добротности Q. Как видно из графиков, ток достигает своего максимального значения при резонансной частоте и нулевого значения при частоте, равной нулю и бесконечности.

 

а б
Рис. 5.4. АЧХ и ФЧХ тока колебательного контура

 

Аналогично (5.7) можно получить выражение для коэффициента передачи по напряжению на конденсаторе:

 

 

(5.8)

 

На рис. 5.5 изображены АЧХ, ЛАЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению на конденсаторе.

Полоса пропускания контура (рис. 5.5, б):

 

(5.9)

 

где ωгр1и ωгр2 – граничные частоты полосы пропускания.

 

а б
   
в
Рис. 5.5. АЧХ, ЛАЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению для конденсатора

 

На резонансной частоте ФЧХ равна –90°, а с ростом частоты стремится к –180°. На границах полосы пропускания ФЧХ равна –45°и –135°.

Характеристики (5.6)–(5.8) удобно строить в зависимости от относительной частоты ωОТ = ω/ω0 = f/f0. В (5.6)–(5.8) с учетом характеристического сопротивления и добротности Q

 

 

получим

 

 

(5.10)

 

 

(5.11)

 

 

(5.12)

 

Величина называется обобщенной расстройкой. Для резонансного режима обобщенная расстройка равна нулю . Частотные характеристики чаще строят в функции частоты или ωОТ, реже от расстройки .

 



Дата добавления: 2020-10-14; просмотров: 429;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.015 сек.