РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ
Резонансомв электрической цепиили на участке цепи, содержащей конденсаторы и катушки индуктивности, называется явление, при котором гармонические напряжение и ток на входе цепи совпадают по фазе. Существует два вида резонанса: резонанс напряжений в цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки индуктивности; и резонанс токов в цепи с параллельным соединением двух ветвей, в одной из которых кроме прочих элементов имеется катушка индуктивности, а в другой – конденсатор. Цепь, в которой наблюдается резонанс напряжений, называется последовательным колебательным контуром. Цепь, в которой наблюдается резонанс токов, называется параллельным колебательным контуром.
Рассмотрим последовательный колебательный контур – участок цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора. Ко входу цепи (рис. 5.1) подключен источник гармонического напряжения U1(t) = Umsin(ωt). Запишем второй закон Кирхгофа в комплексной форме для действующих значений напряжений.
Рис. 5.1. Схема последовательного контура |
(5.1)
Пусть .
Уравнение (5.1) позволяет определить токи и напряжения на элементах цепи:
(5.2)
где xL = ωL;
xC = 1/(ωC);
X – суммарное реактивное сопротивление ветви;
– комплексное сопротивление ветви;
Z – модуль;
j – аргумент сопротивления.
Из (5.2) можно определить действующее значение тока и его фазу:
Условием резонанса напряжений является равенство реактивных сопротивлений xL = xC , ωL = 1/(ωC) или X = 0. При этом условии определяется резонансная частота
(5.3)
На рис. 5.2 показана векторная диаграмма напряжений последовательного контура в режиме резонанса. В этом режиме входной ток достигает максимального значения и его действующее значение составляет Если R является активным сопротивлением проводов катушки, то мощность P = I2R учитывает активные потери мощности в ней. Потери мощности в конденсаторе для низких и средних частот составляют малую величину и в его схеме замещения не учитываются. Действующие значения напряжений на реактивных элементах L и C в режиме резонанса могут значительно превышать входное напряжение:
(5.4)
где – характеристическое сопротивление контура:
(5.5)
Рис. 5.2. Векторные диаграммы напряжений последовательного контура
Отношение Q = ρ/R называется добротностью контура, которая может достигать десятков и даже сотен единиц.
При анализе свойств контура используются частотные характеристики входного сопротивления входного тока а также комплексные передаточные функции для напряжения на катушке индуктивности:
и напряжения на конденсаторе:
С целью оценки свойств электрических цепей используют понятие полосы пропускания (П). Полосой пропускания контура называют диапазон частот, в котором АЧХ изменяется не более чем в раз по сравнению с ее экстремальным (минимальным или максимальным) значением, что соответствует на ЛАЧХ изменению характеристики на 3 дБ.
Из (5.2) получаем частотные характеристики для последовательного колебательного конура.
Зависимости модуля и аргумента комплексного входного сопротивления от частоты:
(5.6)
На рис. 5.3 представлены частотные характеристики модуля и аргумента входного сопротивления контура, рассчитанные по формулам (5.6) для двух значений добротности Q. На графиках видно, что входное сопротивление достигает минимального значения при резонансной частоте ZВХ = R и максимального – при частотах ω → 0 и ω → ∞.
а | б |
Рис. 5.3. АЧХ и ФЧХ входного сопротивления последовательного колебательного контура |
Характер входного сопротивления в диапазоне частот 0 ≤ ω ≤ ω0 является емкостным, а в диапазоне ω0 ≤ ω ≤ ∞ – индуктивным.
и (5.7)
На рис. 5.4 изображены зависимости действующего значения входного тока и его фазы от частоты, рассчитанные по формулам (5.7) для различных значений добротности Q. Как видно из графиков, ток достигает своего максимального значения при резонансной частоте и нулевого значения при частоте, равной нулю и бесконечности.
а | б |
Рис. 5.4. АЧХ и ФЧХ тока колебательного контура |
Аналогично (5.7) можно получить выражение для коэффициента передачи по напряжению на конденсаторе:
(5.8)
На рис. 5.5 изображены АЧХ, ЛАЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению на конденсаторе.
Полоса пропускания контура (рис. 5.5, б):
(5.9)
где ωгр1и ωгр2 – граничные частоты полосы пропускания.
а | б |
в | |
Рис. 5.5. АЧХ, ЛАЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению для конденсатора |
На резонансной частоте ФЧХ равна –90°, а с ростом частоты стремится к –180°. На границах полосы пропускания ФЧХ равна –45°и –135°.
Характеристики (5.6)–(5.8) удобно строить в зависимости от относительной частоты ωОТ = ω/ω0 = f/f0. В (5.6)–(5.8) с учетом характеристического сопротивления и добротности Q
получим
(5.10)
(5.11)
(5.12)
Величина называется обобщенной расстройкой. Для резонансного режима обобщенная расстройка равна нулю . Частотные характеристики чаще строят в функции частоты или ωОТ, реже от расстройки .
Дата добавления: 2020-10-14; просмотров: 429;