ЛЕКЦИЯ 9. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

4. Токи в пассивных параллельных ветвях вычислим по формулам:

; .

5. Действующие значения токов являются модулями комплексных значений.

Векторную диаграмму (рис. 9.2) строим в соответствии с алгоритмом:

а). Построим вектор напряжения между двумя узлами Ů_{cd .}

б). Построим векторы токов в пассивных параллельных ветвях Ỉ₁ и Ỉ₂.

Первая ветвь имеет активно-индуктивный характер, поэтому вектор тока Ỉ₁

отстает от вектора напряжения Ů_cd на угол φ₁ =arctg X_L1 /R_{1 ,} являющийся

аргументом комплексного сопротивления первой пассивной ветви Ż₁ .

Вторая ветвь имеет емкостный характер. Поэтому вектор тока Ỉ₂ опережает вектор напряжения Ů_cd на угол 90° .

в). Cтроим вектор тока Ỉ, равный геометрической сумме векторов токов Ỉ₁ и Ỉ₂.

г). Вектор входного напряжения складывается из векторов трех напряжений:

Ů_ab , Ů_bc и Ů_cd . К вектору Ů_cd прибавляем вектор напряжения Ů_ab . Между точками а и b в схеме находится резистор с сопротивлением R. Напряжение на нем совпадает по фазе стоком Ỉ, поэтому вектор Ů_ab параллелен вектору тока Ỉ. Напряжение на индуктивном элементе опережает ток на ° 90 , поэтому вектор Ů_bc перпендикулярен вектору тока Ỉ.

2. Мощности в цепях синусоидального тока

В цепях синусоидального тока существуют мгновенная р, активная Р, реактивная Q и полная S мощности.

При расчетах удобно пользоваться понятием комплексной мощности

S = Ů I^*,

где Ů =Ue ^jψu – комплекс напряжения

I^*= Ie^{− jψi} – комплекс, сопряженный комплексу тока.

Подставив значения Ů и I^* в соотношение комплексной мощности, получим

S =U e ^jψu ⋅ I e^{− jψi} =U ⋅ I e ^{j(ψu −ψi )} =U ⋅ I e ^jϕ =UI cosϕ + jUI sin ϕ = P + jQ.

Активная мощность является действительной составляющей комплексной мощности: P = Re (S) = Re {Ů I^*}.

Реактивная мощность является мнимой составляющей комплексной

мощности: Q = Im (S) = Im {Ů I^*}.

Для измерения активной (потребляемой) мощности служат ваттметры, представляющие собой сочетание амперметра и вольтметра. Два зажима ваттметра (один – обмотки напряжения и один – обмотки тока) обозначают одинаковыми знаками, обычно звездочками. Угол сдвига фаз между напряжением на ваттметре и током в нем соответствует одинаковым положительным направлениям Ů_W и Ỉ_W относительно зажимов, отмеченных звездочками.

Для указанных (рис. 9.3, а) направлений напряжения и тока:

P =Re (S) =Re {Ů_ab I^*} или P = U_ab I cos(Ů_ab ^ Ỉ).

Для схемы, приведенной на (рис. 9.3, б), активная мощность:

P =Re (S) =Re {Ů_ab (- Ỉ)} = U_ab I cos{Ů_ab ^ (-Ỉ)}.

Для схемы рис. 9.3, в:

P =Re (S) =Re {(-Ů_ab) I^*} = U_ab I cos{(-Ů_ab )^ Ỉ}.

3. Понятие «коэффициент мощности» и способы его улучшения

Потребляемой полезной мощностью является активная мощность Р. Разделение полной мощности на активную и реактивную зависит от угла сдвига фаз ϕ между напряжением и током. Величина угла ϕ определяется соотношением между активным и реактивным сопротивлениям потребителя. Активная мощность P = S cosϕ.

Косинус угла ϕ называют коэффициентом мощности, потому что от его величины зависит, какая доля полной мощности потребляется. Под улучшением коэффициента мощности понимают увеличение cosϕ, т. е. уменьшение угла ϕ. Если увеличение потребляемой мощности не требуется, то увеличение cosϕ необходимо для уменьшения тока. Полезную работу совершает только активная составляющая тока Ia(проекциюя вектора тока Ỉ на вектор напряжения) - рис. 9.4.

Но в цепи циркулирует ток I > Ia , поэтому нужно делать большее сечение проводов линии передачи, обмоток генераторов, трансформаторов и других электрических машин. Кроме того, увеличиваются потери на нагрев проводников (RI²).

ЛЕКЦКоэффициент мощности определяется становлением правительства (~0,92). В целях стимулирования повышения коэффициента мощности промышленные предприятия оплачивают электрическую энергию по дифференцированному тарифу. Чем ниже cosϕ, тем дороже электрическая энергия обходится предприятию.

Способы улучшения cosϕ.

Коэффициент мощност

Cos φ = .

Очевидно, что для повышения cosϕ нужно увеличивать активную мощность и активное сопротивление либо уменьшать реактивную мощность и реактивное сопротивление. Естественный путь – увеличение активной мощности, повышение загрузки оборудования.

Коэффициент мощности асинхронных двигателей и трансформаторов при номинальной нагрузке бывает порядка 0,8–0,9. Асинхронные двигатели и

трансформаторы, работающие недогруженными, снижают cosϕ в сетях.

Искусственный путь – уменьшение реактивной мощности, которая связана с реактивным сопротивлением.

Основные современные потребители электроэнергии (асинхронные двигатели, трансформаторы, сварочные аппараты, индукционные печи) имеют активно-индуктивный характер. Уменьшить реактивное сопротивление, не изменяя параметры схемы потребителя, позволяет режим резонанса токов. Он наблюдается при параллельном соединении, которое обеспечивает независимую работу приемников.

Параллельно нагрузке подключают батарею конденсаторов (рис. 9.5), параметры которой подбирают таким образом, чтобы выполнялось условие резонанса токов: B_L = B_C .

В этом случае цепь имеет чисто активный характер, угол ϕ→0, cosϕ→1.

ЛЕКЦИЯ 10

ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

План лекции

1. Достоинства трехфазных цепей

2. Трехфазный генератор

3. Классификация и способы включения в трехфазную цепь приемни-

ков

1. Достоинства трехфазных цепей:

- наличие вращающегося магнитного поля, на основе которого построен

асинхронный двигатель;

- при передаче энергии на расстояние в трехфазных цепях по сравнению с однофазными достигается существенная экономия материала проводов;

- возможность иметь два эксплуатационных напряжения.

Трехфазные цепи – это частный случай многофазных систем. Многофазной системой называют совокупность электрических цепей, в которых действуют синусоидальные ЭДС одинаковой частоты, отличающиеся одна от другой по фазе и индуктируемые в одном источнике питания.

Каждую из цепей, входящих в многофазную систему, называют фазой.

Трехфазная цепь состоит из трех основных элементов: генератора, ли-

нии передачи и приемника.

2. Трехфазный генератор

1. Принцип действия и разметка зажимов фаз обмотки.

Простейший трехфазный генератор состоит из неподвижной (статор) и

подвижной (ротор) частей (рис 10.1). Статор – это полый цилиндр, набранный из листов электротехнической стали. На его внутренней поверхности фрезеруют пазы, в которые укладывают три одинаковые обмотки, повернутые относительно друг друга на 120° . Ротор является электромагнитом. Его необходимо принудительно вращать.

ЭДС в неподвижных обмотках статора индуцируются в результате пересечения их витков магнитным полем, создаваемым током обмотки возбуждения вращающегося ротора (на рис. 10.1 ротор условно изображен в виде постоянного магнита), что используется на практике при относительно небольших мощностях. При вращении ротора с равномерной скоростью в обмотках фаз статора индуцируются периодически изменяющиеся синусоидальные ЭДС одинаковой частоты и амплитуды, но отличающиеся вследствие пространственного сдвига друг от друга по фазе на 2π/3 рад. (см. рис. 10.2).

Условное изображение фаз обмоток генератора и их разметка представлены на рис. 10.3. Начала обмоток принято обозначать заглавными буквами А,В,С, а концы - соответственно X ,Y, Z.

Для рассмотрения важнейшего свойства уравновешенности трехфазной системы введем понятие симметрии многофазной системы.

Система ЭДС (напряжений, токов и т.д.) называется симметричной, если она состоит из m одинаковых по модулю векторов ЭДС (напряжений, токов и т.д.), сдвинутых по фазе друг относительно друга на одинаковый угол,

2. Способы изображения симметричной системы ЭДС.

Графический

Симметричная система ЭДС – это три синусоиды, сдвинутые относительно друг друга на угол 120°. Принято считать, что начальная фаза ЭДС фазы А равна нулю, ЭДС фазы В отстает от ЭДС фазы А на 120° , ЭДС фазы С отстает от ЭДС фазы В на 120° (АВС – прямой порядок чередования фаз, АСВ – обратный порядок чередования фаз).

Тригонометрический

ЭДС можно записать как синусоидальные функции времени следующим образом:

e_A = E_m sin ωt ; e_B = E_m sin(ωt -120°) ; e_С = E_m sin(ωt +120°).

Вращающимися векторами в декартовой системе координат.

Комплексными числами.

При изображении векторной диаграммы на комплексной плоскости (рис. 10.4) каждому вектору можно сопоставить комплексное число. При расчете трехфазных цепей комплексную плоскость обычно поворачивают на

угол π/2 против часовой стрелки.
Комплексы действующих значений ЭДС фаз в показательной форме могут быть записаны уравнениями:

Ẻ_A =E; Ẻ_B = E =E =a² E,

Ẻ_C = E =E = E = a E,

где a = e ^j120° – оператор поворота, a² = e ^j240° = e^{− j120°} .ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

ЛЕКЦИЯ 11

РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

План лекции

1. Соединение фаз приемника треугольником

2. Соединение фаз приемника звездой трехпроводной

3.Соединение звездой четырехпроводной с нейтральным проводом без

сопротивления

4. Мощности трехфазных цепей

5Способы измерения активной мощности

1. Соединение фаз приемника треугольником

Приемник несимметричный.

Для схемы замещения электрической цепи, приведенной на рис. 11.1,

Необходимо вычислить токи, если известны напряжения генератора и сопротивления фаз приемника.

В трехфазной цепи различают токи фазные (I_ab, I_bc , I_ca) и линейные токи

I _A, I_В, I_C . Фазные токи вычисляют на основании закона Ома по формулам

Ỉ_ab =Ů_ab /Ż_ab , Ỉ_bc =Ů_bc /Ż_bc , Ỉ_ca =Ů_ca /Ż_ca ,

где Ů_ab , Ů_bc и Ů_ca – комплексы напряжений на фазах приемника, а

Ż_ab, Ż_bc, Ż_ca – комплексные сопротивления фаз.

При соединении фаз приемника треугольником напряжения на его фазах равны линейным напряжениям генератора (рис. 11.1), поэтому

Ỉ_ab =Ů_AB /Ż_ab , Ỉ_bc =Ů_BC /Ż_bc , Ỉ_ca =Ů_cCA/Ż_ca .

Сопротивлением линейных проводов при этом пренебрегают.

Затем вычисляют линейные токи по уравнениям, составленным на ос-

новании первого закона Кирхгофа для узлов а, b, с:

Ỉ_A =Ỉ_ab– Ỉ_ca , Ỉ_B =Ỉ_bc– Ỉ_ab , Ỉ_C =Ỉ_ca– Ỉ_bc .

Из этих уравнений следует, что геометрическая сумма векторов линейных токов равна нулю Ỉ_A + Ỉ_B + Ỉ_C = 0 .

Приемник симметричный.

У симметричного приемника комплексные сопротивления фаз равны

между собой: Ż_ab = Ż_bc = Ż_ca . Поэтому токи в фазах равны между собой по

величине и сдвинуты относительно друг друга по фазе на 120º (2π/3) . Поэтому достаточно вычислить по закону Ома ток только одной фазы. Комплексы линейных токов определяют как разности комплексов соответствующих фазных токов.

Линейные токи по величине равны между собой и сдвинуты относительно друг друга по фазе на угол 120° . Линейный ток по величине в раз превышает фазный: I_л = I_ф .

2. Соединение фаз приемника звездой трехпроводной.

Приемник несимметричный.

Схема замещения анализируемой цепи представлена на рис.11.2.

Трехфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока, поэтому для их расчета пригодны все методы, применяемые в однофазных цепях. Анализируемую схему можно рассматривать как схему с двумя узлами (N и n) и рассчитывать токи в ней методом напряжения между двумя узлами.

Напряжение между нейтральными точками генератора и приемника можно вычислить по формуле:

Ů_nN =(Ỷ_a Ů_A + Ỷ_b Ů_B+ Ỷ_c Ů_C )/( Ỷ_a + Ỷ_b + Ỷ_c ),

Где Ỷ_a = 1/Ż_a , Ỷ_b = 1/Ż_b , Ỷ_c = 1/Ż_c – комплексные проводимости фаз приемника.

Линейные и равные им соответственно фазные токи можно определить

по закону Ома для активной ветви:

Ỉ_A =Ỉ_a =Ỷ_a (Ů_A –Ů_nN ), Ỉ_B =Ỉ_b =Ỷ_b (Ů_B –Ů_nN ), Ỉ_C =Ỉ_c =Ỷ_c (Ů_C–Ů_nN ).

Выражения в скобках являются разностью потенциалов между началами (a,b,c) и концами (n) фаз приемников, то есть фазными напряжениями приемника. Например, Ů_a = −Ů_nN +Ů_A .

Поэтому уравнения можно переписать в следующем виде:

Ỉ_A =Ỉ_a =Ỷ_a Ů_a, Ỉ_B =Ỉ_b =Ỷ_b Ů_b, Ỉ_C =Ỉ_c =Ỷ_c Ů_c.