Резистивный элемент сопротивлением R, которое

1. Идеальный резистор либо резистивный элемент.

Резистивный элемент (рис. 6.1) обладает сопротивлением R, которое измеряют в омах (Ом). Закон Ома для мгновенных значений: u_R = Ri .

Если i= I_m sin (ωt + ψ_i ), то

u_R = R I_msin (ωt + ψ_i ).

Отсюда можно сделать выводы:

а). При синусоидальном токе напряжение на резистивном элементе изменяется тоже по синусоидальному закону.

б). Ток и напряжение резистивного элемента совпадают по фазе.

Проиллюстрируем эти выводы графиками: синусоидами (рис. 6.2, а) и

векторной диаграммой (рис. 6.2, б).

Перед знаком синуса записывают максимальное значение, т. е.

U_Rm= R I_m.

Это закон Ома для максимальных значений.

Если левую и правую части уравнения разделить на , получим закон Ома для действующих значений: U_R = R I.

Закон Ома для комплексов действующих значений: Ů_R =R Ỉ.

Мгновенная мощность – это произведение мгновенных значений напряжения и тока:

= R Im sin ωt +

Отсюда можно сделать выводы:

ЛЕКЦИЯ 7

АНАЛИЗ ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ПРИЕМНИКОВ

План лекции

1. Основные законы цепей переменного тока

2. Построение векторной диаграммы

3. Треугольники сопротивлений и мощностей

4. Резонанс напряжений

1. Основные законы цепей переменного тока

В цепях переменного тока закон Ома выполняется для всех значений,

законы Кирхгофа – только для мгновенных и комплексных, которые учиты-

вают фазные соотношения.

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма мгновенных значений

токов в узле:

, либо алгебраическая сумма комплексных значений токов в узле равна нулю:

Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на приемниках в контуре равна алгебраической сумме мгновен-

ных значений ЭДС, действующих в этом же контуре:

, либо алгебраическая сумма комплексных значений напряжений на приемниках в контуре равна алгебраической сумме комплексных значений ЭДС в том же контуре:

.

Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, называют уравнения-

ми электрического состояния.

Схема замещения цепи с последовательным соединением приемников представлена на рис. 7.1.

Для анализа процессов в схеме воспользуемся уравнением на основании второго закона Кирхгофа в комплексной форме:

Ů= Ů_R + Ů_L+ Ů_C

Подставим в это уравнение значения напряжений, выраженные по закону Ома:

Ů=RỈ + jX_LỈ − jX_CỈ =[R + j(X_L − X_C )] Ỉ= Ż Ỉ,

где Ż – комплексное сопротивление цепи.

Очевидно, что Ż = R + j (X _L − X_C ) = R + j X ,

где R – активное сопротивление, Х – реактивное сопротивление.

Закон Ома в комплексной форме для цепи с последовательным соединением приемников: Ů = Ż Ỉ.

Реактивное сопротивление Х может быть положительным и отрицательным.

Реактивное сопротивление Х > 0, если X _L > X_C . В этом случае цепь имеет индуктивный характер.

Реактивное сопротивление X < 0 , если X _L < X_C . В этом случае цепь имеет емкостный характер.

2. Построение векторной диаграммы.

Обычно при ее построении не привязываются к комплексной плоскости, так как имеет значение только взаимное расположение векторов.

Построение векторной диаграммы начинают с вектора величины, общей для данной цепи. При последовательном соединении элементов такой величиной является ток. Вид диаграммы зависит от характера цепи. Построение векторной диаграммы для цепи, имеющей активно-индуктивный характер, т. е.

X _L > X_C и X > 0 , приведено на рис. 7.2.

Входное напряжение складывается из напряжений на трех идеальных элементах при учете сдвига фаз. Напряжение на резисторе совпадает с током по фазе. Напряжение на индуктивном элементе опережает ток на 90°, на емкостном – отстает на 90° .

Полученный при построении векторной диаграммы треугольник ОАВ (рис. 7.3.) дает возможность оперировать действующими значениями, для которых законы Киргофа не выполняются:

;

Угол φ = ψ_u − ψ_i – угол сдвига фаз тока и полного напряжения.

3. Треугольники сопротивлений и мощностей.

Если разделить все стороны треугольника напряжений на ток I, можно получить подобный ему треугольник сопротивлений (рис. 7.4), где Z – полное со-

противление цепи, R – активное сопротивление, Х – реактивное сопротивле-

ние, X _L = L ⋅ω – индуктивное сопротивление, X_C =1/Cω – емкостное сопротивление.

Закон Ома для действующих значений при последовательном соедине-

нии приемников имеет вид : U=Z I.НИКОВ

Из свойств треугольника сопротивлений можно получить соотношения:

; R = Z ⋅ cosϕ; X = Z ⋅ sin ϕ.

Угол ϕ зависит от соотношения сопротивлений цепи.

Сравнение формул полного и комплексного сопротивлений позволяет

сделать вывод, что полное сопротивление является модулем комплексного.

Из треугольника сопротивлений видно, что аргументом комплексного сопро-

тивления является угол ϕ. Поэтому можно записать: Z = R + jX = Z e ^jϕ .

Полное сопротивление любого количества последовательно соединенных приемников

Z = √ (ΣR)² + (ΣX _L − ΣX_C )² .

Умножением всех сторон треугольника напряжений на ток можно получить

треугольник мощностей (рис. 7.5).

Активная мощность P =U_R ⋅ I = R ⋅ I ² =U ⋅ I ⋅ cosϕ

характеризует энергию, которая передается в одном направлении от генера-

тора к приемнику. Она связана с резистивными элементами.

Реактивная мощность Q =│ U_L −U_C │ ⋅ I = X ⋅ I ² =U I sinϕ характеризует

часть энергии, непрерывно циркулирующей в цепи и не совершающей по-

лезной работы. Она связана с реактивными элементами.

Полная (кажущаяся) мощность S =U ⋅ I = .

Активную мощность измеряют в ваттах (Вт), реактивную – вольт-амперах реактивных (вар), полную – вольт-амперах (В⋅А ).

4. Резонанс напряжений.

Индуктивная катушка и конденсатор – взаимоподавляющие антиподы.

Когда они полностью компенсируют действие друг друга, в цепи наблюдается резонансный режим. Резонанс напряжений возникает при последовательном соединении индуктивных катушек и конденсаторов. Условие резонанса напряжений: входноереактивное сопротивление Х равно нулю.

Рассмотрим режим резонанса для цепи, схема замещения которой

представлена на рис. 7.1.

При резонансе X = X _L − X_C = 0. Отсюда X _L = X_C . Так как X_L = Lω, а

X_C = 1/Cω, то при резонансе Lω₀ =1/Cω₀ . Тогда LCω²₀ =1

Отсюда следует, что добиться резонанса напряжений в схеме на рис. 7.1 можно изменением индуктивности L, емкости С и частоты ω.

Циклическая резонансная частота .

Тогда частота f₀ = .

При резонансе полное сопротивление . Цепь имеет xисто активный характер.

При резонансной частоте ω = ω₀ X = 0 , X _L = X_C , ,

I=U/R= I_{max .}

Цепь имеет чисто активный характер.

Значение резонанса напряжений:

1. В электроэнергетических устройствах в большинстве случаев явление нежелательное, связанное с появлением перенапряжений.

2. В электротехнике связи (радиотехнике, проволочной телефонии), в автоматике явление резонанса напряжений широко используют для настройки цепи на определенную частоту.

ЛЕКЦИЯ 8

АНАЛИЗ ЦЕПИ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ПРИЕМНИКОВ

План лекции

1. Основные законы

2. Построение векторной диаграммы

3. Треугольники проводимостей и мощностей

4. Резонанс токов

1. Основные законы

Схема замещения цепи с параллельным соединением приемников изображена на рис. 8.1.

Для анализа цепи применим уравнение по первому закону Киргофа для комплексных значений:

Ỉ = Ỉ_R + Ỉ_L + Ỉ_C .

Далее подставим в это уравнение значения токов, выраженных по закону

Ома:

.

Введем обозначения: – комплексная проводимость; индуктивная проводимость индуктивного элемента;

– емкостная проводимость емкостного элемента;

1/R=G – активная проводимость резистивного элемента.ЛЕКЦИЯ 8. АНА