Резистивный элемент сопротивлением R, которое
1. Идеальный резистор либо резистивный элемент.
Резистивный элемент (рис. 6.1) обладает сопротивлением R, которое измеряют в омах (Ом). Закон Ома для мгновенных значений: uR = Ri .
Если i= Im sin (ωt + ψi ), то
uR = R Imsin (ωt + ψi ).
Отсюда можно сделать выводы:
а). При синусоидальном токе напряжение на резистивном элементе изменяется тоже по синусоидальному закону.
б). Ток и напряжение резистивного элемента совпадают по фазе.
Проиллюстрируем эти выводы графиками: синусоидами (рис. 6.2, а) и
векторной диаграммой (рис. 6.2, б).
Перед знаком синуса записывают максимальное значение, т. е.
URm= R Im.
Это закон Ома для максимальных значений.
Если левую и правую части уравнения разделить на , получим закон Ома для действующих значений: UR = R I.
Закон Ома для комплексов действующих значений: ŮR =R Ỉ.
Мгновенная мощность – это произведение мгновенных значений напряжения и тока:
= R Im sin ωt +
Отсюда можно сделать выводы:
Круговой косинус не может быть больше единицы, т. е. выражение в квадратной скобке не может быть меньше нуля.
Выводы: Мгновенная мощность резистивного элемента всегда положительная и меняется с удвоенной частотой.
Среднее значение мощности за период называют активной мощностью Р. Для резистивного элемента
При синусоидальном
В формуле активной мощности фигурируют дейсвующие значения тока и напряжения. Измеряют активную мощность в ваттах (Вт).оке напряжение а
2. Индуктивный элемент.
Ток индуктивного элемента (рис. 6.3) создаетмагнитный поток, направленный по оси катушки. Потокосцепление ψ – это произведение числа витков катушки на магнитный поток: ψ =W ⋅Φ.
Одинаковыми буквами могут быть обозначены разные физические величины.
Индуктивный элемент учитывает ЭДС самоиндукции, которая пропорциональна скорости изменения потокосцепленияи мешает этому изменению: итный поток, направ-
= ∫Индуктивная катушка обладает индуктивностью. Индуктивность – это
коэффициент, характеризующий способность тока создавать магнитный по-
ток: Индуктивность измеряют в генри [Гн)] =Ом⋅ с .
Можно записать dψ = Ldi. Тогда
Напряжение на индуктивном элементе uL = −eL, т. е.
Это закон Ома для мгновенных значений.
Если i= Imsin (ωt + ψi ) , напряжение uL= LωImcos(ωt + ψi) =
= LωIm sin (ωt+ ψi + π/2).
Отсюда можно сделать выводы:
а). При синусоидальном токе напряжение на индуктивном элементе тоже синусоидально.
б). Напряжение опережает по фазе ток на угол, равный π/2 .
Проиллюстрируем эти выводы графиками: синусоидами (рис. 6.4, а) и
векторной диаграммой (рис. 6.4, б).
Перед знаком синуса записывают максимальное значение, т. е. ULm= LωIm.
Если левую и правую части уравнения разделим на , то получим закон Ома для действующих значений: UL= LωI .
По аналогии с резистором для упрощения расчетов вводят понятие индуктивного сопротивления XL =L ω, [XL ]=Ом с = Ом. Тогда UL= XL I.
Индуктивное сопротивление – это расчетное понятие, учитывающее ЭДС самоиндукции. Частотная характеристика индуктивного сопротивления представлена на рис. 6.5.
|
В цепи постоянного тока ω = 0 , поэтому X L= Lω = 0. Вместо индуктивного элемента в схеме замещения будет закоротка.
Расчеты в цепях синусоидального тока делают символическим методом. Закон Ома для комплексных значений:
ŮL= j XL Ỉ= XL Ỉ ej π/2 = XL Ỉ ej90º .
Умножение вектора на j или на ej90º означает его поворот на комплексной плоскости на угол + 90°.
Мгновенная мощность индуктивного элемента:
p = uL ⋅ i =ULm Im cos (ωt + ψi ) sin (ωt + ψi ).
Умножим и разделим на 2:
p= 2cos(ωt + ψi ) sin(ωt + ψi )=UL I sin2(ωt +ψi ).
Отсюда следует, что мощность меняется с удвоенной частотой и является знакопеременной.
При p > 0 энергия от источника поступает в индуктивную катушку и запасается в ее магнитном поле. При p < 0 энергия возвращается в сеть.
Активная мощность P= ,так как мгновенная мощность меняется по синусоидальному закону.
Идеальная индуктивная катушка энергии не потребляет.
Энергия магнитного поля индуктивного элемента:
.
3. Идеальный конденсатор либо емкостный элемент
Емкостный элемент (рис. 6.6) обладает емкостью С, которую измеряют в фарадах ( Ф= с/Ом).
измеИИирИИяютИииииш
Из курса физики известно, что i =dq/dt, а q =C uC. Отсда
. Это закон Ома для мгновенных значений.
Пусть напряжение uC =UСmsin(ωt + ψu ).
Тогда i = CωUСm cos (ωt + ψu ) = CωUСm sin(ωt + ψu + π/2).
Из полученного выражения можно сделать выводы:
а). При синусоидальном токе напряжение на емкостном элементе тоже синусоидально.
б). Напряжение на емкостном элементе отстает по фазе от тока на
угол π/2(90°).
Эти выводы можно проиллюстрировать графиками: синусоидами
(рис. 6.7, а) и векторной диаграммой (рис.6.7, б).
Максимальное значение тока Im = CωUCm. Разделив обе части уравне-
ния на , получим закон Ома для действующих значений:
I = CωUC либо .
По аналогии с резистором для упрощения расчетов вводят понятие ем-
костного сопротивления ХC :
. [XC ] = .
Частотная характеристика емкостного сопроивления приведена на рис. 6.8.
В цепи постоянного тока XC , поэтому конденсатор постоянныйток не пропускает.
Напряжение UC = XC I .
Закон Ома для комплексных значений:
ŮC = − j XC Ỉ= XC Ỉ e -j π/2 = XC Ỉ e -j90º
Умножение вектора на –j или на е−j90° означает его поворот на комплексной плоскости на угол − 90° .
Мгновенная мощность емкостного элемента
p = uC i =UCm Imcos(ωt + ψu )· sin(ωt + ψu ) =
= 2cos(ωt + ψu ) sin(ωt + ψu )=UC I sin2(ωt +ψu ).
Отсюда следуют выводы: мощность меняется с удвоенной частотой и является знакопеременной.
При р >0 энергия от источника поступает в конденсатор и запасается в его электрическом поле. При р <0 энергия возвращается в сеть.
Активная мощность P= , т. к. мгновенная мощность меняется по синусоидальному закону.
Идеальный конденсатор энергии не потребляет. Энергия электрического поля емкостного элемента:
.
ЛЕКЦИЯ 7
АНАЛИЗ ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ПРИЕМНИКОВ
План лекции
1. Основные законы цепей переменного тока
2. Построение векторной диаграммы
3. Треугольники сопротивлений и мощностей
4. Резонанс напряжений
1. Основные законы цепей переменного тока
В цепях переменного тока закон Ома выполняется для всех значений,
законы Кирхгофа – только для мгновенных и комплексных, которые учиты-
вают фазные соотношения.
Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма мгновенных значений
токов в узле:
, либо алгебраическая сумма комплексных значений токов в узле равна нулю:
Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на приемниках в контуре равна алгебраической сумме мгновен-
ных значений ЭДС, действующих в этом же контуре:
, либо алгебраическая сумма комплексных значений напряжений на приемниках в контуре равна алгебраической сумме комплексных значений ЭДС в том же контуре:
.
Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, называют уравнения-
ми электрического состояния.
Схема замещения цепи с последовательным соединением приемников представлена на рис. 7.1.
Для анализа процессов в схеме воспользуемся уравнением на основании второго закона Кирхгофа в комплексной форме:
Ů= ŮR + ŮL+ ŮC
Подставим в это уравнение значения напряжений, выраженные по закону Ома:
Ů=RỈ + jXLỈ − jXCỈ =[R + j(XL − XC )] Ỉ= Ż Ỉ,
где Ż – комплексное сопротивление цепи.
Очевидно, что Ż = R + j (X L − XC ) = R + j X ,
где R – активное сопротивление, Х – реактивное сопротивление.
Закон Ома в комплексной форме для цепи с последовательным соединением приемников: Ů = Ż Ỉ.
Реактивное сопротивление Х может быть положительным и отрицательным.
Реактивное сопротивление Х > 0, если X L > XC . В этом случае цепь имеет индуктивный характер.
Реактивное сопротивление X < 0 , если X L < XC . В этом случае цепь имеет емкостный характер.
2. Построение векторной диаграммы.
Обычно при ее построении не привязываются к комплексной плоскости, так как имеет значение только взаимное расположение векторов.
Построение векторной диаграммы начинают с вектора величины, общей для данной цепи. При последовательном соединении элементов такой величиной является ток. Вид диаграммы зависит от характера цепи. Построение векторной диаграммы для цепи, имеющей активно-индуктивный характер, т. е.
X L > XC и X > 0 , приведено на рис. 7.2.
Входное напряжение складывается из напряжений на трех идеальных элементах при учете сдвига фаз. Напряжение на резисторе совпадает с током по фазе. Напряжение на индуктивном элементе опережает ток на 90°, на емкостном – отстает на 90° .
Полученный при построении векторной диаграммы треугольник ОАВ (рис. 7.3.) дает возможность оперировать действующими значениями, для которых законы Киргофа не выполняются:
;
Угол φ = ψu − ψi – угол сдвига фаз тока и полного напряжения.
3. Треугольники сопротивлений и мощностей.
Если разделить все стороны треугольника напряжений на ток I, можно получить подобный ему треугольник сопротивлений (рис. 7.4), где Z – полное со-
противление цепи, R – активное сопротивление, Х – реактивное сопротивле-
ние, X L = L ⋅ω – индуктивное сопротивление, XC =1/Cω – емкостное сопротивление.
Закон Ома для действующих значений при последовательном соедине-
нии приемников имеет вид : U=Z I.НИКОВ
Из свойств треугольника сопротивлений можно получить соотношения:
; R = Z ⋅ cosϕ; X = Z ⋅ sin ϕ.
Угол ϕ зависит от соотношения сопротивлений цепи.
Сравнение формул полного и комплексного сопротивлений позволяет
сделать вывод, что полное сопротивление является модулем комплексного.
Из треугольника сопротивлений видно, что аргументом комплексного сопро-
тивления является угол ϕ. Поэтому можно записать: Z = R + jX = Z e jϕ .
Полное сопротивление любого количества последовательно соединенных приемников
Z = √ (ΣR)2 + (ΣX L − ΣXC )2 .
Умножением всех сторон треугольника напряжений на ток можно получить
треугольник мощностей (рис. 7.5).
Активная мощность P =UR ⋅ I = R ⋅ I 2 =U ⋅ I ⋅ cosϕ
характеризует энергию, которая передается в одном направлении от генера-
тора к приемнику. Она связана с резистивными элементами.
Реактивная мощность Q =│ UL −UC │ ⋅ I = X ⋅ I 2 =U I sinϕ характеризует
часть энергии, непрерывно циркулирующей в цепи и не совершающей по-
лезной работы. Она связана с реактивными элементами.
Полная (кажущаяся) мощность S =U ⋅ I = .
Активную мощность измеряют в ваттах (Вт), реактивную – вольт-амперах реактивных (вар), полную – вольт-амперах (В⋅А ).
4. Резонанс напряжений.
Индуктивная катушка и конденсатор – взаимоподавляющие антиподы.
Когда они полностью компенсируют действие друг друга, в цепи наблюдается резонансный режим. Резонанс напряжений возникает при последовательном соединении индуктивных катушек и конденсаторов. Условие резонанса напряжений: входноереактивное сопротивление Х равно нулю.
Рассмотрим режим резонанса для цепи, схема замещения которой
представлена на рис. 7.1.
При резонансе X = X L − XC = 0. Отсюда X L = XC . Так как XL = Lω, а
XC = 1/Cω, то при резонансе Lω0 =1/Cω0 . Тогда LCω20 =1
Отсюда следует, что добиться резонанса напряжений в схеме на рис. 7.1 можно изменением индуктивности L, емкости С и частоты ω.
Циклическая резонансная частота .
Тогда частота f0 = .
При резонансе полное сопротивление . Цепь имеет xисто активный характер.
При резонансной частоте ω = ω0 X = 0 , X L = XC , ,
I=U/R= Imax .
Цепь имеет чисто активный характер.
Значение резонанса напряжений:
1. В электроэнергетических устройствах в большинстве случаев явление нежелательное, связанное с появлением перенапряжений.
2. В электротехнике связи (радиотехнике, проволочной телефонии), в автоматике явление резонанса напряжений широко используют для настройки цепи на определенную частоту.
ЛЕКЦИЯ 8
АНАЛИЗ ЦЕПИ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ПРИЕМНИКОВ
План лекции
1. Основные законы
2. Построение векторной диаграммы
3. Треугольники проводимостей и мощностей
4. Резонанс токов
1. Основные законы
Схема замещения цепи с параллельным соединением приемников изображена на рис. 8.1.
Для анализа цепи применим уравнение по первому закону Киргофа для комплексных значений:
Ỉ = ỈR + ỈL + ỈC .
Далее подставим в это уравнение значения токов, выраженных по закону
Ома:
.
Введем обозначения: – комплексная проводимость; индуктивная проводимость индуктивного элемента;
– емкостная проводимость емкостного элемента;
1/R=G – активная проводимость резистивного элемента.ЛЕКЦИЯ 8. АНА
Используя введенные обозначения, можно записать:
= G − j (BL − BC ) = G − j B,
где В – реактивная проводимость.
2. Построение векторной диаграммы
Построение векторной диаграммы начинаем с вектора напряжения, которое является одинаковым для всех элементов схемы. Векторная диаграмма для
случая, когда X L < XC , приведена на рис. 8.2.
Ток в неразветвленной части схемы складывается из токов трех параллельных ветвей при учете сдвига фаз. Ток через резистор совпадает с напряжением по фазе, через индуктивный элемент отстает от напряженияна на 90°, ток через конденсатор опережает его на 90° .
На основе векторной диаграммы можно изобразить треугольник токов ОАВ (рис. 8.3.)
Из свойств треугольника токов получаем следующие соотношения, позволяющие оперировать действующими значениями:
;
IR = I cosϕ ; .
3. Треугольники проводимостей и мощностей
Разделив все стороны треугольника токов на напряжение, получим подобный
ему треугольник проводимостей (рис. 8.4), где Y – полная проводимость.
Закон Ома для действующих значений при параллельном соединении имеет вид: I = YU .
Из свойств треугольника проводимостей можно получить соотношения:
; G = Y cos ϕ ; B = Y sin ϕ; ϕ = arc tg B/G .
Полная проводимость Y является модулем комплексной проводимости :
= Y e- jϕ = G − jB .
Полная проводимость любого количества параллельно соединенных приемников
.
Умножив все стороны треугольника токов на напряжение, можно получить
треугольник мощностей (рис. 8.5 а).
Получим соотношения для активной и реактивной проводимостей ветви. Все
резистивные элементы ветви можно заменить одним эквивалентным сопро-
тивлением. Все реактивные элементы также можно заменить одним эквива-
лентным, индуктивным или емкостным. Схема замещения любой ветви в общем виде приведена на рис. 8.5 b.
Комплексная проводимость – это величина, обратная комплексному сопротивлению: .
Чтобы избавиться от мнимости в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю комплекс:
Выражение в знаменателе R2 + X 2 = Z 2 .
Тогда
Дата добавления: 2020-10-14; просмотров: 474;