Резистивный элемент сопротивлением R, которое

1. Идеальный резистор либо резистивный элемент.

Резистивный элемент (рис. 6.1) обладает сопротивлением R, которое измеряют в омах (Ом). Закон Ома для мгновенных значений: u_R = Ri .

Если i= I_m sin (ωt + ψ_i), то

u_R = R I_msin (ωt + ψ_i).

Отсюда можно сделать выводы:

а). При синусоидальном токе напряжение на резистивном элементе изменяется тоже по синусоидальному закону.

б). Ток и напряжение резистивного элемента совпадают по фазе.

Проиллюстрируем эти выводы графиками: синусоидами (рис. 6.2, а) и

векторной диаграммой (рис. 6.2, б).

Перед знаком синуса записывают максимальное значение, т. е.

U_Rm= R I_m.

Это закон Ома для максимальных значений.

Если левую и правую части уравнения разделить на , получим закон Ома для действующих значений: U_R = R I.

Закон Ома для комплексов действующих значений: Ů_R =R Ỉ.

Мгновенная мощность – это произведение мгновенных значений напряжения и тока:

= R Im sin ωt +

Отсюда можно сделать выводы:

Круговой косинус не может быть больше единицы, т. е. выражение в квадратной скобке не может быть меньше нуля.

Выводы: Мгновенная мощность резистивного элемента всегда положительная и меняется с удвоенной частотой.

Среднее значение мощности за период называют активной мощностью Р. Для резистивного элемента

При синусоидальном

В формуле активной мощности фигурируют дейсвующие значения тока и напряжения. Измеряют активную мощность в ваттах (Вт).оке напряжение а

2. Индуктивный элемент.

Ток индуктивного элемента (рис. 6.3) создаетмагнитный поток, направленный по оси катушки. Потокосцепление ψ – это произведение числа витков катушки на магнитный поток: ψ =W ⋅Φ.

Одинаковыми буквами могут быть обозначены разные физические величины.

Индуктивный элемент учитывает ЭДС самоиндукции, которая пропорциональна скорости изменения потокосцепленияи мешает этому изменению: итный поток, направ-

= ∫Индуктивная катушка обладает индуктивностью. Индуктивность – это

коэффициент, характеризующий способность тока создавать магнитный по-

ток: Индуктивность измеряют в генри [Гн)] =Ом⋅ с .

Можно записать dψ = Ldi. Тогда

Напряжение на индуктивном элементе u_L = −e_L, т. е.

Это закон Ома для мгновенных значений.

Если i= I_msin (ωt + ψ_i ) , напряжение u_L= LωI_mcos(ωt + ψ_i) =

= LωI_msin (ωt+ ψ_i+ π/2).

Отсюда можно сделать выводы:

а). При синусоидальном токе напряжение на индуктивном элементе тоже синусоидально.

б). Напряжение опережает по фазе ток на угол, равный π/2 .

Проиллюстрируем эти выводы графиками: синусоидами (рис. 6.4, а) и

векторной диаграммой (рис. 6.4, б).

Перед знаком синуса записывают максимальное значение, т. е. U_Lm= LωI_m.

Если левую и правую части уравнения разделим на , то получим закон Ома для действующих значений: U_L= LωI .

По аналогии с резистором для упрощения расчетов вводят понятие индуктивного сопротивления X_L =L ω, [X_L ]=Ом с = Ом. Тогда U_L= X_L I.

Индуктивное сопротивление – это расчетное понятие, учитывающее ЭДС самоиндукции. Частотная характеристика индуктивного сопротивления представлена на рис. 6.5.

В цепи постоянного тока ω = 0 , поэтому X _L= Lω = 0. Вместо индуктивного элемента в схеме замещения будет закоротка.

Расчеты в цепях синусоидального тока делают символическим методом. Закон Ома для комплексных значений:

Ů_L= j X_L Ỉ= X_L Ỉ e^j^π^/2 = X_L Ỉ e^j^90º.

Умножение вектора на j или на e^j^90º означает его поворот на комплексной плоскости на угол + 90°.

Мгновенная мощность индуктивного элемента:

p = u_L ⋅ i =U_Lm I_m cos (ωt + ψ_i ) sin (ωt + ψ_i ).

Умножим и разделим на 2:

p= 2cos(ωt + ψ_i ) sin(ωt + ψ_i )=U_LI sin2(ωt +ψ_i ).

Отсюда следует, что мощность меняется с удвоенной частотой и является знакопеременной.

При p > 0 энергия от источника поступает в индуктивную катушку и запасается в ее магнитном поле. При p < 0 энергия возвращается в сеть.

Активная мощность P= ,так как мгновенная мощность меняется по синусоидальному закону.

Идеальная индуктивная катушка энергии не потребляет.

Энергия магнитного поля индуктивного элемента:

.

3. Идеальный конденсатор либо емкостный элемент

Емкостный элемент (рис. 6.6) обладает емкостью С, которую измеряют в фарадах ( Ф= с/Ом).

измеИИирИИяютИииииш

Из курса физики известно, что i =dq/dt, а q =C u_C. Отсда

. Это закон Ома для мгновенных значений.

Пусть напряжение u_C =U_Сmsin(ωt + ψ_u).

Тогда i = CωU_Сm cos (ωt + ψ_u ) = CωU_Сm sin(ωt + ψ_u + π/2).

Из полученного выражения можно сделать выводы:

а). При синусоидальном токе напряжение на емкостном элементе тоже синусоидально.

б). Напряжение на емкостном элементе отстает по фазе от тока на

угол π/2(90°).

Эти выводы можно проиллюстрировать графиками: синусоидами

(рис. 6.7, а) и векторной диаграммой (рис.6.7, б).

Максимальное значение тока I_m = CωU_Cm. Разделив обе части уравне-

ния на , получим закон Ома для действующих значений:

I = CωU_C либо .

По аналогии с резистором для упрощения расчетов вводят понятие ем-

костного сопротивления Х_C :

. [X_C ] = .

Частотная характеристика емкостного сопроивления приведена на рис. 6.8.

В цепи постоянного тока X_C , поэтому конденсатор постоянныйток не пропускает.

Напряжение U_C = X_C I .

Закон Ома для комплексных значений:

Ů_C= − j X_C Ỉ= X_C Ỉ e ^{-j π}^/2 = X_C Ỉ e ^-j90º

Умножение вектора на –j или на е−^j90^° означает его поворот на комплексной плоскости на угол − 90° .

Мгновенная мощность емкостного элемента

p = u_C i =U_Cm I_mcos(ωt + ψ_u )· sin(ωt + ψ_u ) =

= 2cos(ωt + ψ_u ) sin(ωt + ψ_u )=U_CI sin2(ωt +ψ_u ).

Отсюда следуют выводы: мощность меняется с удвоенной частотой и является знакопеременной.

При р >0 энергия от источника поступает в конденсатор и запасается в его электрическом поле. При р <0 энергия возвращается в сеть.

Активная мощность P= , т. к. мгновенная мощность меняется по синусоидальному закону.

Идеальный конденсатор энергии не потребляет. Энергия электрического поля емкостного элемента:

.

ЛЕКЦИЯ 7

АНАЛИЗ ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ПРИЕМНИКОВ

План лекции

1. Основные законы цепей переменного тока

2. Построение векторной диаграммы

3. Треугольники сопротивлений и мощностей

4. Резонанс напряжений

1. Основные законы цепей переменного тока

В цепях переменного тока закон Ома выполняется для всех значений,

законы Кирхгофа – только для мгновенных и комплексных, которые учиты-

вают фазные соотношения.

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма мгновенных значений

токов в узле:

, либо алгебраическая сумма комплексных значений токов в узле равна нулю:

Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на приемниках в контуре равна алгебраической сумме мгновен-

ных значений ЭДС, действующих в этом же контуре:

, либо алгебраическая сумма комплексных значений напряжений на приемниках в контуре равна алгебраической сумме комплексных значений ЭДС в том же контуре:

Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, называют уравнения-

ми электрического состояния.

Схема замещения цепи с последовательным соединением приемников представлена на рис. 7.1.

Для анализа процессов в схеме воспользуемся уравнением на основании второго закона Кирхгофа в комплексной форме:

Ů= Ů_R + Ů_L+ Ů_C

Подставим в это уравнение значения напряжений, выраженные по закону Ома:

Ů=RỈ + jX_LỈ − jX_CỈ =[R + j(X_L − X_C )] Ỉ= Ż Ỉ,

где Ż – комплексное сопротивление цепи.

Очевидно, что Ż = R + j (X _L − X_C ) = R + j X ,

где R – активное сопротивление, Х – реактивное сопротивление.

Закон Ома в комплексной форме для цепи с последовательным соединением приемников: Ů = Ż Ỉ.

Реактивное сопротивление Х может быть положительным и отрицательным.

Реактивное сопротивление Х > 0, если X _L > X_C . В этом случае цепь имеет индуктивный характер.

Реактивное сопротивление X < 0 , если X _L < X_C . В этом случае цепь имеет емкостный характер.

2. Построение векторной диаграммы.

Обычно при ее построении не привязываются к комплексной плоскости, так как имеет значение только взаимное расположение векторов.

Построение векторной диаграммы начинают с вектора величины, общей для данной цепи. При последовательном соединении элементов такой величиной является ток. Вид диаграммы зависит от характера цепи. Построение векторной диаграммы для цепи, имеющей активно-индуктивный характер, т. е.

X _L > X_C и X > 0 , приведено на рис. 7.2.

Входное напряжение складывается из напряжений на трех идеальных элементах при учете сдвига фаз. Напряжение на резисторе совпадает с током по фазе. Напряжение на индуктивном элементе опережает ток на 90°, на емкостном – отстает на 90° .

Полученный при построении векторной диаграммы треугольник ОАВ (рис. 7.3.) дает возможность оперировать действующими значениями, для которых законы Киргофа не выполняются:

;

Угол φ = ψ_u − ψ_i – угол сдвига фаз тока и полного напряжения.

3. Треугольники сопротивлений и мощностей.

Если разделить все стороны треугольника напряжений на ток I, можно получить подобный ему треугольник сопротивлений (рис. 7.4), где Z – полное со-

противление цепи, R – активное сопротивление, Х – реактивное сопротивле-

ние, X _L = L ⋅ω – индуктивное сопротивление, X_C =1/Cω – емкостное сопротивление.

Закон Ома для действующих значений при последовательном соедине-

нии приемников имеет вид : U=Z I.НИКОВ

Из свойств треугольника сопротивлений можно получить соотношения:

; R = Z ⋅ cosϕ; X = Z ⋅ sin ϕ.

Угол ϕ зависит от соотношения сопротивлений цепи.

Сравнение формул полного и комплексного сопротивлений позволяет

сделать вывод, что полное сопротивление является модулем комплексного.

Из треугольника сопротивлений видно, что аргументом комплексного сопро-

тивления является угол ϕ. Поэтому можно записать: Z = R + jX = Z e ^j^ϕ.

Полное сопротивление любого количества последовательно соединенных приемников

Z = √ (ΣR)² + (ΣX _L − ΣX_C )² .

Умножением всех сторон треугольника напряжений на ток можно получить

треугольник мощностей (рис. 7.5).

Активная мощность P =U_R ⋅ I = R ⋅ I ² =U ⋅ I ⋅ cosϕ

характеризует энергию, которая передается в одном направлении от генера-

тора к приемнику. Она связана с резистивными элементами.

Реактивная мощность Q =│ U_L −U_C│ ⋅ I = X ⋅ I ² =U I sinϕ характеризует

часть энергии, непрерывно циркулирующей в цепи и не совершающей по-

лезной работы. Она связана с реактивными элементами.

Полная (кажущаяся) мощность S =U ⋅ I = .

Активную мощность измеряют в ваттах (Вт), реактивную – вольт-амперах реактивных (вар), полную – вольт-амперах (В⋅А ).

4. Резонанс напряжений.

Индуктивная катушка и конденсатор – взаимоподавляющие антиподы.

Когда они полностью компенсируют действие друг друга, в цепи наблюдается резонансный режим. Резонанс напряжений возникает при последовательном соединении индуктивных катушек и конденсаторов. Условие резонанса напряжений: входноереактивное сопротивление Х равно нулю.

Рассмотрим режим резонанса для цепи, схема замещения которой

представлена на рис. 7.1.

При резонансе X = X _L − X_C = 0. Отсюда X _L = X_C . Так как X_L = Lω, а

X_C = 1/Cω, то при резонансе Lω₀=1/Cω₀. Тогда LCω²₀=1

Отсюда следует, что добиться резонанса напряжений в схеме на рис. 7.1 можно изменением индуктивности L, емкости С и частоты ω.

Циклическая резонансная частота .

Тогда частота f₀= .

При резонансе полное сопротивление . Цепь имеет xисто активный характер.

При резонансной частоте ω = ω₀ X = 0 , X _L = X_C , ,

I=U/R= I_max_.

Цепь имеет чисто активный характер.

Значение резонанса напряжений:

1. В электроэнергетических устройствах в большинстве случаев явление нежелательное, связанное с появлением перенапряжений.

2. В электротехнике связи (радиотехнике, проволочной телефонии), в автоматике явление резонанса напряжений широко используют для настройки цепи на определенную частоту.

ЛЕКЦИЯ 8

АНАЛИЗ ЦЕПИ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ПРИЕМНИКОВ

План лекции

1. Основные законы

2. Построение векторной диаграммы

3. Треугольники проводимостей и мощностей

4. Резонанс токов

1. Основные законы

Схема замещения цепи с параллельным соединением приемников изображена на рис. 8.1.

Для анализа цепи применим уравнение по первому закону Киргофа для комплексных значений:

Ỉ = Ỉ_R + Ỉ_L + Ỉ_C .

Далее подставим в это уравнение значения токов, выраженных по закону

Ома:

Введем обозначения: – комплексная проводимость; индуктивная проводимость индуктивного элемента;

– емкостная проводимость емкостного элемента;

1/R=G – активная проводимость резистивного элемента.ЛЕКЦИЯ 8. АНА

Используя введенные обозначения, можно записать:

= G − j (B_L − B_C ) = G − j B,

где В – реактивная проводимость.

2. Построение векторной диаграммы

Построение векторной диаграммы начинаем с вектора напряжения, которое является одинаковым для всех элементов схемы. Векторная диаграмма для

случая, когда X _L < X_C , приведена на рис. 8.2.

Ток в неразветвленной части схемы складывается из токов трех параллельных ветвей при учете сдвига фаз. Ток через резистор совпадает с напряжением по фазе, через индуктивный элемент отстает от напряженияна на 90°, ток через конденсатор опережает его на 90° .

На основе векторной диаграммы можно изобразить треугольник токов ОАВ (рис. 8.3.)

Из свойств треугольника токов получаем следующие соотношения, позволяющие оперировать действующими значениями:

;

I_R = I cosϕ ; .

3. Треугольники проводимостей и мощностей

Разделив все стороны треугольника токов на напряжение, получим подобный

ему треугольник проводимостей (рис. 8.4), где Y – полная проводимость.

Закон Ома для действующих значений при параллельном соединении имеет вид: I = YU .

Из свойств треугольника проводимостей можно получить соотношения:

; G = Y cos ϕ ; B = Y sin ϕ; ϕ = arc tg B/G .

Полная проводимость Y является модулем комплексной проводимости :

= Y e^{- j}^ϕ = G − jB .

Полная проводимость любого количества параллельно соединенных приемников

.

Умножив все стороны треугольника токов на напряжение, можно получить

треугольник мощностей (рис. 8.5 а).

Получим соотношения для активной и реактивной проводимостей ветви. Все

резистивные элементы ветви можно заменить одним эквивалентным сопро-

тивлением. Все реактивные элементы также можно заменить одним эквива-

лентным, индуктивным или емкостным. Схема замещения любой ветви в общем виде приведена на рис. 8.5 b.

Комплексная проводимость – это величина, обратная комплексному сопротивлению: .

Чтобы избавиться от мнимости в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю комплекс:

Выражение в знаменателе R² + X ² = Z ² .

Тогда

<7 8 9 101112 13 >

Дата добавления: 2020-10-14; просмотров: 399;