ЛЕКЦИЯ 3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТОКОВ

4. Составим (n −1) = 2 −1=1 уравнение по первому закону Кирхгофа:

J + I₁ − I₂ − I₃ = 0

либо I₁ − I₂ − I₃ = −J .

5. Дописываем два недостающих уравнения по второму закону Кирхгофа. Рекомендуют составлять уравнения для «главных», не содержащих в

себе других контуров. Направление обхода разных контуров может быть раз-

ным.

Выберем направление обхода контуров по часовой стрелке. Тогда

U₁ +U₂ = E₁;

−U₂ +U₃ = E .

Подставив выражения напряжений по закону Ома, получим следующую систему уравнений:

6. Решением системы находим токи.

Систему уравнений по законам Кирхгофа можно записать в матричной форме следующим образом:

[a]⋅[I ]= [F],

где [a] – квадратная матрица коэффициентов; [I ] – матрица-столбец неиз-

вестных токов ветвей; [F] – матрица-столбец активных параметров, которы-

ми являются токи источников тока и ЭДС.

Уравнения в системе не однотипны, так как записаны на основании двух разных законов. В уравнениях по первому закону Кирхгофа коэффициенты a_ij безразмерны и могут принимать значения ±1 или 0. В правой части Fj = ΣJ .

В уравнениях по второму закону Кирхгофа коэффициенты aij имеют размерность сопротивления, F_i = ΣE . Если j – ветвь входит в i -тый контур, для которого составлено уравнение, то a_ij = ±R_ij , не входит – a_ij = 0 .

Для рассмотренного примера

Расчет по законам Кирхгофа является универсальным, но громоздким.

Поэтому на его основе разработаны методы, позволяющие упростить решение.

2. Метод узловых потенциалов.

В качестве промежуточных неизвестных принимают потенциалы узлов.

Потенциал – функция многозначная, поэтому потенциал одного из уз-

лов принимают равным нулю. Рационально заземлять узел, в котором схо-

дится максимальное число ветвей.

Уравнения составляют на основании первого закона Кирхгофа. В них

подставляют значения токов, выраженные по закону Ома для активной и пас-

сивной ветвей. Число уравнений равно числу незаземленных узлов. Систему

можно записать в трафаретном виде:

где G₁₁ , G₂₂ , ..., G_mm – собственные проводимости узлов, равные сумме проводимостей ветвей, соединяющихся в соответствующем узле; G₁₂ , G₂₁ ,

G₁₃ , ... – общие проводимости между двумя узлами, равные сумме проводи-

мостей ветвей, соединяющих эти узлы; J₁₁, J₂₂ , ..., J_mm – узловые токи, рав-

ные алгебраической сумме произведений проводимостей активных ветвей на

ЭДС этих ветвей и токов источников тока, соединяющихся в этом узле.

С положительным знаком берут ЭДС и токи, направленные к узлу.

Составим систему уравнений для схемы на рис. 3.2: