Теорема 2. Интегральный признак Коши.

Если дан ряд и при этом существует функция , такая, что при целых значениях она совпадает с членами этого ряда, т.е. , то ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл .

Доказательство. Рассмотрим чертёж. Высоты столбцов, расположенных выше графика (включающие в себя и зелёную и красную часть), это числа ., так как эти высоты и т.д. Сумма площадей этих столбцов, как раз и есть сумма ряда. И это больше, чем несобственный интеграл. В то же время столбцы, расположенные ниже графика (только красная часть на чертеже), имеют высоту так как у первого из них высота . Сумма их площадей это сумма остатка ряда без 1-го слагаемого. Но они все ниже графика, то есть их суммарная площадь меньше, чем несобственный интеграл.

Итак, получили:

Правое неравенство означает: из того, что ряд сходится, следует, что несобственный интеграл сходится. А левое неравенство значит, что из сходимости интеграла следует сходимость остатка ряда, начиная со 2-го элемента. Но ведь сходимость остатка ряда равносильна сходимости самого ряда. Поэтому в итоге получается такой факт: ряд сходится тогда и только тогда, когда несобственный интеграл сходится.

Фактически, с помощью этой теоремы можно во многих случаях как бы заменять n на x, и исследовать не дискретные, а непрерывные величины, а это удобнее, т.к. можно интегрировать, применять первообразные, то есть гораздо больше способов для исследования.

Следствие. Ряды вида , сходятся при .

Доказательство очевидно: они эквивалентны интегралам , про которые известно, что при есть сходимость. Итак, , , сходятся, а вот , расходятся, здесь степень меньше или равна 1.

Но не всегда удаётся подобрать такую функцию, чтобы применить интегральный признак Коши. Например, в ряде может содержаться n!

Поэтому нужны и другие признаки.

Если исследовать внутреннюю структуру ряда, а именно отношение следующего слагаемого к предыдущему, то например, для геометрической прогрессии это число всегда одно и то же (знаменатель прогрессии). А вот если ряд не является прогрессией, то оно как-то варьируется, для сходимости важно, чтобы оно оказалось меньше какого-то , то есть было меньше сходящейся прогрессии.