Центр мас матерiальної системи. Радiус-вектор i координати центра мас

Масою матерiальної системи називається сума мас всiх точок (тiл), якi входять в систему:

(11.1)

дe m_k - маса k - тої матерiальної точки, n - число всiх точок системи.

Центром мас або центром iнерцiї механiчної системи називається геометрична точка С, радiус-вектор якої визначається рiвнiстю

(11.2)

Декартовi координати центра мас такi:

(11.3)

В (11.3) x_k, y_k, z_k - координати k-тої матерiальної точки. При безперервному розподiлi мас суми в правiй частинi формул (11.3) переходять у вiдповiднi iнтеграли.

Центр мас твердого тiла, що знаходиться в однорiдному полi сили тяжiння, спiвпадає з центром ваги. При визначеннi центра мас механiчної системи можна користуватися методами, якi встановленi в статицi для визначення центра ваги (метод симетрiї, метод роздiлення на частини, метод вiд’ємних мас i т. д.)

В динамiцi слiд говорити про центр мас механiчної системи, а не про центр ваги.

Необхiдно вiдмiтити, що положення центра мас твердого тiла не змiнюється вiдносно точок тiла. Якщо ж система складається з точок, якi перемiщуються одна вiдносно iншої, то положення центра мас системи вiдносно її точок може змiнюватись.

Залежнiсть мiж швидкiстю центра мас i швидкостями точок матерiальної системи має вигляд:

(11.4)

Залежнiсть мiж прискоренням центра мас i прискореннями точок матерiальної системи виражається спiввiдношеннями:

(11.5)

При розв’язуваннi задач корисно дотримуватись такого порядку:

1) вибрати систему координат;

2) записати координати кожної матерiальної точки системи як функцiї часу:

x_k = f_k(t); y_k = φ_k(t); z_k = ψ_k(t),

де k = 1,2,..., n;

3) визначити координати центра мас системи за формулами (11.3).

При цьому х_C, у_С, z_C будуть функцiями часу i рiвняння (11.3) будуть параметричними рiвняннями руху центра мас;

4) для знаходження явних рiвнянь траєкторiї центра мас системи треба з параметричних рiвнянь виключити час (параметр t).

Зауваження. Для закріплення матеріалу §10-11 необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., Наука, 1981 (1986)”:

1) № 34.1, 34.3;

2) № 34.2, 34.4;

3) № 34.5, 34.6.

Питання для самоконтролю

1. Що називають матеріальною або механічною системою?

2. Як розподіляють сили, що діють на матеріальну систему?

3. Які сили, що діють на матеріальну систему, називають зовнішніми, а які – внутрішніми?

4. Сформулюйте властивості внутрішніх сил.

5. Що називають масою матеріальної системи?

6. Яку точку називають центром мас (центром інерції) механічної системи?

7. Як визначаються координати центра мас в декартовій системі координат?

8. Як пов’язані між собою центр мас і центр ваги твердого тіла?

9. Чи змінюється положення центра мас твердого тіла та системи матеріальних точок?

10. Запишіть формули, які виражають залежність між швидкістю центра мас і швидкостями матеріальних точок системи.

11. Запишіть аналогічні залежності між прискоренням центра мас і прискореннями точок системи.

12. Сформулюйте план розв’язання задач на визначення положення центра мас матеріальної системи.