Вимушенi коливання матерiальної точки при наявностi опору

Вимушенi коливання при наявностi опору - це коливання точки пiд дiєю вiдновлюючої сили, пропорцiональної змiщенню точки вiд положення рiвноваги, F=-сх, сили опору, пропорцiональної швидкостi, R =- =-m i вимушуючої сили, перiодичної в часi, Q = Hsin(pt+δ )( рис. 5.2 ), де

Н - амплiтуда вимушуючої сили, Н;

Рис. 5. 2.

р - циклiчна частота вимушуючої сили, с^-1;

(pt+δ) - фаза змiни вимушуючої сили, радiан;

δ - початкова фаза змiни вимушуючої сили, радiан;

τ = 2π/р - перiод змiни вимушуючої сили, с.

Рiвняння вимушених коливань буде таким:

m =- cx- μ +Hsin(pt+δ)

або

+ = hsin(pt+δ), (5.22)

де n = μ/(2m); ω₀² = c/m; h = H/m.

Загальний розв’язок рiвняння (5.22) складається з загального розв’язку рiвняння (5.10) i частинного розв’язку рiвняння (5.22):

x₂ = A_csin(pt+δ - ε), (5.23)

де

(5.24)

Загальний розв’язок рiвняння (5.22) в залежностi вiд спiввiдношення величин ω₀ i n буде таким:

а) при n<ω₀

; (5.25)

б) при n>ω₀

; (5.26)

в) при n = ω₀

(5.27)

Величини a, ω₀, C₁ i C₂ є сталими інтегрування, їх обчислюють з початкових умов.

При t→∞ перший доданок в формулах стає рiвним нулю, результуючий рух матерiальної точки складається тiльки з вимушених коливань:

. (5.28)

Розглянемо залежнiсть амплiтуди вимушених коливань вiд частоти вимушуючої сили за формулою (5.24).

При фiксованiй амплiтудi Н вимушуючої сили i сталих m, n, ω₀ амплiтуда А_с вимушених коливань максимальна для частоти вимушуючої сили, яка дорівнює:

(5.29)

Для великих значень р амплiтуда А_с мала: limA_с = 0 при р→∞. Коливанню з меншим опором вiдповiдає менший параметр n i бiльше значення максимальної величини амплiтуди A_сmax; абсциса точки, в якiй амплiтуда досягає максимального значення бiльша (при n→0 р_max→ω₀ i А_сmax→∞).

Кривi залежностi амплiтуди А_c вiд частоти р зображено на рис. 5. 3.

Частота i перiод вимушених коливань матерiальної точки при наявностi опору руховi дорiвнюють частотi р i перiоду змiни τ вимушуючої сили.

Рiзниця фаз вимушених коливань i вимушуючої сили дорiвнює ε i визначається формулою

ε - в радiанах.

Рис. 5. 3.